Алгебра: Найти корни: [tex]log_{sinx}(cos2x-sinx+1)=2[/tex]

Для начала, давайте разберемся с некоторыми основными понятиями. 1. Логарифм: Логарифм - это инверсия степени. Другими словами, если мы имеем уравнение [tex]y=b^x[/tex], то эквивалентное уравнение в логарифмической форме будет [tex]x=log_b(y)[/tex]. 2. Функция [tex]sin(x)[/tex]: Синус - это элементарная функция, которая связывает угол [tex]x[/tex] и соответствующий ему отношение противоположной стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Значение синуса всегда находится в диапазоне от -1...

Найти корни: $log_{sinx}(cos2x-sinx+1)=2$

Ответы

Darina1110 10.01.2024 18:10

Для начала, давайте разберемся с некоторыми основными понятиями.

1. Логарифм: Логарифм - это инверсия степени. Другими словами, если мы имеем уравнение $y=b^x$ , то эквивалентное уравнение в логарифмической форме будет $x=log_b(y)$ .

2. Функция $sin(x)$ : Синус - это элементарная функция, которая связывает угол $x$ и соответствующий ему отношение противоположной стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Значение синуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1.

Теперь перейдем к решению данного уравнения.

Данное уравнение имеет вид $log_{sinx}(cos2x-sinx+1)=2$ . Давайте преобразуем его шаг за шагом:

1. Применим определение логарифма: $sinx^{log_{sinx}(cos2x-sinx+1)}=cos2x-sinx+1$ .

2. Заметим, что $sinx$ в основании логарифма эквивалентно $cos(\frac{\pi}{2}-x)$ по формуле синуса дополнения угла.

3. Получим: $cos(\frac{\pi}{2}-x)^{log_{cos(\frac{\pi}{2}-x)}(cos2x-sinx+1)}=cos2x-sinx+1$ .

4. Упростим выражение: $cos(\frac{\pi}{2}-x)^{log_{cos(\frac{\pi}{2}-x)}(cos^2x-sinx+1)}=cos2x-sinx+1$ .

5. Применим определение логарифма: $cos(\frac{\pi}{2}-x)^{log_{cos(\frac{\pi}{2}-x)}(cos^2x-sinx+1)}=cos2x-sinx+1$ .

6. Заметим, что основание логарифма совпадает с числом в группе логарифма. Значит, логарифм равен 1: $cos^2x-sinx+1=1$ .

7. Вычтем 1 из обоих сторон: $cos^2x-sinx=0$ .

8. Преобразуем выражение: $cosx(cosx-sin)=0$ .

Теперь, согласно принципу нулевого произведения, либо $cosx=0$ , либо $cosx-sin=0$ . Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно:

1. $cosx=0$ : это означает, что $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , где $k$ - целое число.

2. $cosx-sin=0$ : это означает, что $cosx=sin$ . Подставим значение $sin$ через $cos$ с учетом формулы синуса дополнения угла: $cosx=cos(\frac{\pi}{2}-x)$ . Поэтому, $x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi$ , где $k$ - целое число.

Таким образом, мы получили два решения данного уравнения: $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ и $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ , где $k$ - целое число.

Пояснение: Мы использовали различные математические преобразования, определения и формулы, чтобы постепенно упростить и решить уравнение. Затем мы рассмотрели два возможных случая и получили решения в виде $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ и $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ , где $k$ - целое число. Это решение будет понятным для школьников и обосновано.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра