Найти коэффициент при х^7 в разложении (х + 3)^10.

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу обобщенного биномиального разложения, которая выглядит следующим образом:

(x + y)^n = С(n, 0) * x^n * y^0 + С(n, 1) * x^(n-1) * y^1 + ... + С(n, n-1) * x^1 * y^(n-1) + С(n, n) * x^0 * y^n,

где С(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!), где "!" обозначает факториал.

В данной задаче, вместо "x" мы имеем "(x + 3)", а значение n равно 10. Наша задача - найти коэффициент при x^7.

Итак, заменим "(x + 3)" в формуле:

((x + 3) + 0)^10 + ((x + 3) + 1)^9 + ((x + 3) + 2)^8 + ... + ((x + 3) + 8)^2 + ((x + 3) + 9)^1 + ((x + 3) + 10)^0.

Мы ищем член, где x имеет степень 7. То есть, нам нужно найти значение скобки, где x имеет степень 7.

Представим ((x + 3) + k) в виде (x^7 * (3^k)). Это потому, что только когда мы умножаем x^7 на (3^k), мы получаем x^7 среди всех возможных членов.

Теперь, чтобы найти значение k, мы можем выразить степень x в исходном линейном члене и степень x во всех возможных комбинациях.

В нашем случае, мы исследуем выражение (x + 3)^10. Используя формулу разложения бинома Паскаля, мы можем увидеть, что степени x перечислены в убывающем порядке. То есть, мы начинаем с 10 и уменьшаем его до 0.

Теперь посмотрим, как изменяются степени x при возведении в степень.

1) При возведении x в любую степень всегда остается только один x.
2) При возведении 3 в любую степень, степень x не изменяется, и x остается в пределах своей исходной степени.
3) x возведенное в 0 равно 1.

Теперь посчитаем различные комбинации степеней x и 3 для значения k от 0 до 10:

k = 0:
Степень x: 10
Степень 3: 0

k = 1:
Степень x: 9
Степень 3: 1

k = 2:
Степень x: 8
Степень 3: 2

k = 3:
Степень x: 7
Степень 3: 3

k = 4:
Степень x: 6
Степень 3: 4

k = 5:
Степень x: 5
Степень 3: 5

k = 6:
Степень x: 4
Степень 3: 6

k = 7:
Степень x: 3
Степень 3: 7

k = 8:
Степень x: 2
Степень 3: 8

k = 9:
Степень x: 1
Степень 3: 9

k = 10:
Степень x: 0
Степень 3: 10

Теперь мы замечаем, что при k = 3 мы имеем степень x равную 7. То есть, коэффициент при x^7 равен 3^3.

Итак, мы получили, что коэффициент при x^7 в разложении (x + 3)^10 равен 3^3, то есть 27.