Найти экстремумы функции :
а) f(x) = x^3 +3x^2 - 2x +2
б) f(x) = 2e^3x - 3e^2x от распишите

Объяснение:

на листочке

Для нахождения экстремумов функции сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю. Затем найдем вторую производную и проверим ее знак.

а) Функция f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по переменной x.
f'(x) = 3x^2 + 6x - 2

Шаг 2: Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение.
3x^2 + 6x - 2 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, можно использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 3, b = 6, c = -2

D = (6)^2 - 4(3)(-2)
D = 36 + 24
D = 60

Теперь, найдем корни уравнения, используя формулу:
x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-6 ± √60) / (2 * 3)

x1 = (-6 + √60) / 6
x1 ≈ -0.634
x2 = (-6 - √60) / 6
x2 ≈ -3.366

Шаг 3: Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, найдем вторую производную функции f(x) и подставим значения найденных корней.
f''(x) = 6x + 6

f''(-0.634) ≈ 6(-0.634) + 6 ≈ -2.404
f''(-3.366) ≈ 6(-3.366) + 6 ≈ -14.196

Так как f''(-0.634) < 0 и f''(-3.366) < 0, то функция имеет локальный максимум в точке x ≈ -0.634 и локальный минимум в точке x ≈ -3.366.

б) Функция f(x) = 2e^3x - 3e^2x

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по переменной x.
f'(x) = 6e^3x - 6e^2x

Шаг 2: Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение.
6e^3x - 6e^2x = 0

Перекладываем общий множитель:
6e^2x(e^x - 1) = 0

Так как e^2x > 0 для любого x и (e^x - 1) = 0, то единственный корень уравнения: x = 0.

Шаг 3: Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, найдем вторую производную функции f(x) и подставим значение x = 0
f''(x) = 18e^3x - 12e^2x

f''(0) = 18e^0 - 12e^0 = 18 - 12 = 6

Так как f''(0) > 0, то функция имеет локальный минимум в точке x = 0.

Общий вывод: функция f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2 имеет локальный максимум в точке x ≈ -0.634 и локальный минимум в точке x ≈ -3.366. Функция f(x) = 2e^3x - 3e^2x имеет локальный минимум в точке x = 0.