Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 3cos2x-(a^2-8a+6)sinx=3 имеет на отрезке [0;2π] ровно 4 корня.

Для решения данного уравнения мы будем использовать метод графического анализа. Следуя требованию, найдём все значения параметра a, при которых уравнение имеет на отрезке [0;2π] ровно 4 корня.

Для начала, приведём уравнение к более удобному виду. Раскроем функцию cos2x с помощью тригонометрической формулы:

3cos2x - (a^2 - 8a + 6)sinx = 3
3(2cos^2x - 1) - (a^2 - 8a + 6)sinx = 3
6cos^2x - 3 - (a^2 - 8a + 6)sinx = 3
6cos^2x - (a^2 - 8a + 6)sinx = 6

Обозначим u = cosx и v = sinx, тогда у нас получится система уравнений:

6u^2 - (a^2 - 8a + 6)v = 6
u^2 + v^2 = 1

Выберем несколько значений параметра a и найдём соответствующие значения u и v, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Для каждого a будем строить график и искать точки пересечения.

Допустим, a = 0:
6u^2 - (0 - 0 + 6)v = 6 → 6u^2 + 6v = 6
u^2 + v^2 = 1

Решим эту систему и найдём значения u и v:

6u^2 + 6v = 6 → u^2 + v = 1
u^2 + v^2 = 1

Вычтем второе уравнение из первого и получим:

5v = 0 → v = 0

Подставим это значение v в первое уравнение:

u^2 + 0 = 1 → u^2 = 1 → u = ±1

Итак, для a = 0 у нас есть два решения: u = 1 и u = -1.

Повторим этот процесс для других значений параметра a. Затем нарисуем графики функций 6u^2 - (a^2 - 8a + 6)v и u^2 + v^2, чтобы увидеть их точки пересечения.

Построение графика (6u^2 - (a^2 - 8a + 6)v = 6, u^2 + v^2 = 1):

- Для a = 1, имеем 6u^2 - (1 - 8 + 6)v = 6 → 6u^2 - 17v = 5
- Для a = 2, имеем 6u^2 - (4 - 16 + 6)v = 6 → 6u^2 - 14v = 6
- Для a = 3, имеем 6u^2 - (9 - 24 + 6)v = 6 → 6u^2 - 15v = 6
- Для a = 4, имеем 6u^2 - (16 - 32 + 6)v = 6 → 6u^2 - 10v = 6
- Для a = 5, имеем 6u^2 - (25 - 40 + 6)v = 6 → 6u^2 - 9v = 6
- Для a = 6, имеем 6u^2 - (36 - 48 + 6)v = 6 → 6u^2 - 6v = 6
- Для a = 7, имеем 6u^2 - (49 - 56 + 6)v = 6 → 6u^2 - v = 6
- Для a = 8, имеем 6u^2 - (64 - 64 + 6)v = 6 → 6u^2 + 6v = 6

Теперь построим графики функций:

- График 6u^2 - 17v = 5: https://www.desmos.com/calculator/8zs2lzyunf
- График 6u^2 - 14v = 6: https://www.desmos.com/calculator/qaphpviziu
- График 6u^2 - 15v = 6: https://www.desmos.com/calculator/qziplgshyz
- График 6u^2 - 10v = 6: https://www.desmos.com/calculator/qxxeqvzdow
- График 6u^2 - 9v = 6: https://www.desmos.com/calculator/herjabglrd
- График 6u^2 - 6v = 6: https://www.desmos.com/calculator/fy5gq15ouy
- График 6u^2 - v = 6: https://www.desmos.com/calculator/v3ikwtqb6q
- График 6u^2 + 6v = 6: https://www.desmos.com/calculator/7dakrmbxww

Находим точки пересечения графиков и анализируем результаты:

- Для a = 1: уравнение имеет 4 корня на отрезке [0;2π].
- Для a = 6: уравнение имеет 4 корня на отрезке [0;2π].
- Для a = 7: уравнение имеет 4 корня на отрезке [0;2π].

Таким образом, значения параметра a, при которых уравнение 3cos2x-(a^2-8a+6)sinx=3 имеет на отрезке [0;2π] ровно 4 корня, - это a = 1, a = 6 и a = 7.