Найдите все значения a, при которых уравнение |2|x|-a^2|=x-2a имеет ровно четыре различных решения

|2|x|-a^2|=x-2a

при х<2a решений нет (модуль неотрицательное выражение)

x>=2a

2|x|-a^2=x-2a (правая часть неотрицательная, опускаем внешний модуль левой части)

разбиваем на подуравнения в зависимости от х:

x>=2a и x>=0

2x-a^2=x-2a или

2x-a^2=-x+2a

или

x>=2a и x<0

-2x-a^2=x-2a или

-2x-a^2=-x+2a

x>=2a и x>=0

x=a^2-2a или 3x=a^2+2a

или

x>=2a и x<0

-3x=a^2-2a или -x=a^2+2a

x>=2a и x>=0

x=a^2-2a или x=(a^2+2a)/3

или

x>=2a и x<0

x=(2a-a^2)/3 или x=-a^2-2a

откуда видно что четыре решения будут в случае исполнения неравенств

a^2-2a>=2a и

a^2-2a>=0  и

(a^2+2a)/3>=2a и

(a^2+2a)/3>=0 и

(2a-a^2)/3>=2a и

(2a-a^2)/3<0 и

-a^2-2a>=2a и

-a^2-2a<0;

a^2-4a>=0 и

a(a-2)>=0 и

a^2+2a>=6a и

a^2+2a>=0 и

2a-a^2>=6a и

2a-a^2<0 и

-a^2-4a>=0 и

a^2+2a<0 ;

a(a-4)>=0 и

a(a-2)>=0 и

a^2-4a>=0 и

a(a+2)>=0 и

-a^2-4a>0 и

a^2-2a>0 и

a^2+4a<=0 и

a(a+2)<0;

a(a-4)>=0 и

a(a+2)>=0 и

a(a-2)>0 и

a(a+4)<=0;

a<=0 или a>=4

и

a<=-2 или a>=0

и

a<0 или a>2

и

-4<=a<=0

обьединяя

[-4;-2)

теперь найдем при которых а некоторые из решений совпадают (т.е.когда выполняется одно из равенств)

a^2-2a=(a^2+2a)/3 или

a^2-2a=(2a-a^2)/3 или

a^2-2a=-a^2-2a или

(a^2+2a)/3=(2a-a^2)/3 или

(a^2+2a)/3=a^2-2a или

(2a-a^2)/3=-a^2-2a

a=0 или

3a-6=a+2 или

3a-6=2-a или

a-2=-a-2 или

a+2=2-a или

a+2=2a-6 или

2-a=-a-6

a=0 или 

2a=8 или

4a=8 или

2a=0 или

2a=0 или

a=8

a=0 или а=4 или а=0 или а=8 -  в надйенный промежуток не попадают

ответ: при а є [-4;-2) данное уравнение имеет четыре различных решения