Найдите все значение a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень. решить с объяснениями)

Нуртилек2664467 Нуртилек2664467    3   03.09.2019 09:10    2

Ответы
nastyakarmazina1 nastyakarmazina1  06.10.2020 14:22
\frac{x-2a}{x+2}+ \frac{x-1}{x-a} =1|\cdot ((x+2)(x-a)\ne0)

(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)=(x+2)(x-a)\\ \\ x^2-3ax+2a^2+x^2+x-2=x^2-ax+2x-2a\\ \\ x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2=0

Решим квадратное уравнение относительно х

D=b^2-4ac= 4a^2+4a+1-8a^2-8a+8=-4a^2-4a+9

x_{1,2}= \dfrac{2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} }{2}

Это квадратное уравнение будет иметь 2 корня.

Найдем ОДЗ уравнения: \displaystyle \left \{ {{x+2\ne 0} \atop {x-a\ne 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x\ne-2} \atop {x\ne a}} \right.

Подставим теперь в корень квадратного уравнения

-2=\dfrac{2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} }{2} \\ \\ -4=2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} \\\\ -5-2a=\pm \sqrt{-4a^2-4a+9}

Сразу говорю, что -5-2a=-\sqrt{-4a^2-4a+9}, если брать с "+", то уравнение решений не будет иметь
2a+5=\sqrt{-4a^2-4a+9}
Возведем обе уравнения в квадрат
4a^2+20a+25=-4a^2-4a+9\\ 8a^2+24a+16=0|:8\\ \\ a^2+3a+2=0

По т. Виета: a_1=-2;\,\,\,\,\, a_2=-1

Теперь если х=а

\dfrac{2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} }{2}=a\\ \\ 2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9 }=2a \\ \\ \pm\sqrt{-4a^2-4a+9}=-1

С "+" аналогично тоже решений не будет

-\sqrt{-4a^2-4a+9}=-1\\ \\ \sqrt{-4a^2-4a+9}=1\\ \\ -4a^2-4a+9=1\\ \\ 4a^2+4a-8=0|:4\\ \\ a^2+a-2=0

По т. Виета: a_3=-2;\,\,\,\, a_4=1

Еще учтем, что когда D=0, то квадратное уравнение имеет один единственный корень

-4a^2-4a+9=0\\ 4a^2+4a-9=0\\ D=16+16\cdot9=160\\ \\ a_{5,6}= \dfrac{-4\pm4 \sqrt{10} }{8} = \dfrac{-1\pm \sqrt{10} }{2}

ответ: -2;\,\,\, \pm1;  \dfrac{-1\pm \sqrt{10} }{2} .
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра