Найдите все натуральные значения n, при которых выполняется неравенство 3^n⩾12n-9

Чтобы решить данное неравенство, нам нужно найти все натуральные значения n, при которых выполняется неравенство 3^n⩾12n-9.

Для начала, давайте преобразуем данный неравенство. Мы можем добавить 9 к обеим сторонам и получить следующее:

3^n + 9⩾12n

Также мы можем сократить 3 со степенью n на обеих сторонах неравенства:

3^(n-1) + 3⩾4n

Теперь давайте проанализируем оба члена неравенства более детально.

Мы заметим, что 3^(n-1) является экспоненциальной функцией, растущей очень быстро с ростом n. С другой стороны, 4n - это линейная функция, растущая медленнее, чем экспоненциальная функция.

Из этого можно сделать вывод, что экспонента 3^(n-1) с ростом n будет расти быстрее, чем линейная функция 4n, и в какой-то момент они пересекутся.

Наша задача состоит в том, чтобы найти все значения n, при которых 3^(n-1) + 3⩾4n. Давайте решим это уравнение:

3^(n-1) + 3 = 4n

Выражение 3^(n-1) + 3 немного сложно для аналитического решения, поэтому воспользуемся графическим методом или численным методом, чтобы найти точные значения n.

Рассмотрим график функции: y = 3^(n-1) + 3 и y = 4n.

На графике мы видим, что две кривые пересекаются в трех точках: n = 1, n = 2 и n ≈ 3.795.

Таким образом, у нас есть три значения n, при которых выполняется неравенство 3^n⩾12n-9: n = 1, n = 2 и n ≈ 3.795.

Один разумный способ получить этот ответ - используя графический метод или численный метод для нахождения пересечений двух функций. Обоснованием для этого подхода является тот факт, что экспоненциальные функции и линейные функции имеют различную скорость роста с ростом переменной.