Найдите все натуральные n такие, что n3+1 является степенью (возможно, первой) простого числа.

нам подходит. Пусть .

Пусть . Понятно, что . Пусть существует натуральное , которое делит и , и . Выберем наибольшее из таких чисел. Тогда делит и разность этих чисел, то есть , но , поскольку и взаимно простые числа. Тогда . Итак, делит и , значит, делит . Следовательно, .

В таком случае, . Понятно, что . Раз , то . Теперь совсем просто:  , откуда , что также подходит.

Если указанного значения не существует, то . Но тогда , откуда , что не является простым числом.