Найдите все х, при которых касательные к графикам функций
f(x)=3cos(5x) и g(x)=5cos(3x)+2 в точках с абсциссой х параллельны

Для начала, давайте определим, что означает, что касательные к графикам функций параллельны в точках с абсциссой х. Касательные к графику функции - это прямые, которые касаются графика в определенной точке и имеют одинаковый угловой коэффициент, то есть параллельны друг другу. Таким образом, мы ищем точки, в которых у обоих функций касательные имеют одинаковый угловой коэффициент.

При работе с этим вопросом мы будем использовать производные функций f(x) и g(x). Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении аргумента (в данном случае, х).

Для функции f(x) = 3cos(5x), найдем ее производную. Применим цепное правило дифференцирования: умножим производную внешней функции (косинус) на производную внутренней функции (5x). Выглядит это следующим образом:

f'(x) = 3 * (-sin(5x)) * 5 = -15sin(5x)

Теперь рассмотрим функцию g(x) = 5cos(3x) + 2 и найдем ее производную:

g'(x) = 5 * (-sin(3x)) * 3 = -15sin(3x)

Таким образом, мы получаем, что производные функций f(x) и g(x) равны -15sin(5x) и -15sin(3x) соответственно.

Чтобы касательные к графикам функций f(x) и g(x) были параллельны в точках с абсциссой х, производные этих функций должны быть равны. Это будет означать, что угловые коэффициенты касательных будут одинаковыми.

-15sin(5x) = -15sin(3x)

Для решения этого уравнения, мы ищем все значения х, при которых sin(5x) = sin(3x).

Понятие периода синусоиды нам говорит, что sin(x) = sin(x + 2π) для всех x. Это означает, что значения x, которые отличаются друг от друга на 2π, дадут одинаковые значения sin(x).

Теперь мы можем решить уравнение:

5x - 3x = 2πn или 5x + 3x = 2πn, где n - целое число

2x = 2πn или 8x = 2πn

x = πn или x = πn/4

Таким образом, все значения х, при которых касательные к графикам функций f(x) и g(x) параллельны в точках с абсциссой х, могут быть представлены как x = πn или x = πn/4, где n - целое число.