Найдите восьмой член арифметической прогрессии,если известно,что при делении тринадцатого члена на третий получается 5, а при делении пятнадцатого члена на четвёртый получается 4 и в остатке 2.

a13 = a1+12d;    a3 = a1+2d  =>  a13 / a3 = (12d+a1) / (2d+a1),  a13 / a3 = 5 (по условию), значит  (a1 + 12d) / (a1 + 2d) = 5;

a15 = a1 + 14d;  a4 = a1 + 3d  =>  a15 = 4* a4 + 2 (по условию)  => a1 + 14d = 4(a1 + 3d) + 2

Так как выполняются оба условия, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

{  (a1 + 12d) / (a1 + 2d) = 5     { a1 + 12d = 5(a1 + 2d)         { a1 + 12d = 5a1 + 10d

   a1 + 14d = 4(a1 + 3d) + 2      a1 + 14d = 4a1 + 12d + 2     4a1 + 12d - a1 - 14d = -2

{ a1 + 12d - 5a1 - 10d = 0    {  -4a1 + 2d = 0     { -a1 = -2            {  a1 = 2              { a1 = 2

  3a1 - 2d = - 2                          3a1 - 2d = -2       3a1 - 2d = -2      3*2 + 2 = 2d       6 + 2 = 2d

{ a1 = 2

  d = 4    так как  a8 = a1 + 7d,  a8 = 2 + 7*4  =>  a8 = 2 + 28  =>  a8 = 30

ответ: восьмой член арифметической прогрессии равен 30.