Найдите точку максимума функции y=log2(-x^2+4x+5)+2

y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2

ОДЗ : -x² + 4x + 5 > 0

-(x² - 4x - 5) > 0   ⇔   x² - 4x - 5 < 0   ⇔

(x - 5)(x + 1) < 0

Метод интервалов

+++++++ (-1) -------- (5) ++++++++ >>> x

ОДЗ : x ∈ (-1; 5)

y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2 = log₂(-x² + 4x + 5) + log₂4 =

= log₂ ( ( -x² + 4x + 5) * 4) = log₂( -4x² + 16x + 20)

y = log₂( -4x² + 16x + 20) - логарифмическая функция с основанием 2 > 1

⇒ большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. достаточно найти наибольшее значение выражения под логарифмом, чтобы найти максимум логарифмической функции.

f(x) = -4x² + 16x + 20 - квадратичная функция.

График - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.

Точка максимума - вершина параболы

Координата вершины параболы

x₀ = 2 ∈ ОДЗ ⇒

x₀ = 2 - точка максимума функции y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2

y(2) = log₂(-2² + 4*2 + 5) + 2 = log₂9 + 2 = 2( log₂3 + 1)

ответ: точка максимума х₀ = 2