Найдите tg(п+t), если известно, что sin(6п+t)=8/17,0<t<п/2​

Для решения этой задачи нам понадобится знание о связи тангенса и синуса.

Во-первых, давайте вспомним, что tg(п+t) можно представить как tg(t+п), так как тангенс является периодической функцией с периодом пи.

Используя основное тригонометрическое тождество tg(п+t) = tg(t+п) = (sin(t+п))/(cos(t+п)), мы можем переписать нашу задачу следующим образом: найти tg(t+п), при условии, что sin(6п+t)=8/17, где 0
Теперь рассмотрим данный нам sin(6п+t) в уравнении. Мы знаем, что sin(п+α) = sin(α) для любого угла α. Пользуясь этим свойством, мы можем переписать sin(6п+t) в более удобной форме:

sin(6п+t) = sin(п+t)

Используя определение синуса для угла α в прямоугольном треугольнике (противоположный катет / гипотенуза), мы можем записать:

8/17 = sin(п+t)

Теперь, чтобы найти tg(t+п), мы можем использовать ещё одно тригонометрическое тождество:

tg(α) = sin(α)/cos(α)

Мы уже знаем sin(п+t) = 8/17, и мы также можем найти cos(п+t), зная, что sin^2(α) + cos^2(α) = 1 для любого угла α.

Для этого, вспомним, что sin^2(α) = 1 - cos^2(α), и подставим sin^2(п+t) вместо sin(п+t):

(1 - cos^2(п+t)) = 8^2/17^2

Теперь можем найти cos(п+t), найдя корни данного квадратного уравнения:

cos(п+t) = sqrt(1 - 64/289) = sqrt(225/289) = 15/17

Итак, у нас есть значения sin(п+t) = 8/17 и cos(п+t) = 15/17.

Теперь мы можем найти tg(п+t) с помощью tg(α) = sin(α)/cos(α):

tg(п+t) = sin(п+t)/cos(п+t) = (8/17)/(15/17) = 8/15

Таким образом, располагая информацией о sin(6п+t), мы нашли tg(п+t), который равняется 8/15.