Найдите сумму корней уравнения |x^2+5x-4|=3x-1

Т.к. модуль неотрицателен, 3x - 1 >= 0, x >= 1/3.

Если обе части уравнения неотрицательны, можно возвести в квадрат, новых корней при этом не возникнет. Заодно пользуемся тем, что |...|^2 = (...)^2:
(x^2 + 5x - 4)^2 = (3x - 1)^2
(x^2 + 5x - 4)^2 - (3x - 1)^2 = 0

Раскладываем по формуле разности квадратов:
(x^2 + 5x - 4 - 3x + 1)(x^2 + 5x - 4 + 3x - 1) = 0
(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 8x - 5) = 0

У первой скобки корни -3, 1 (легко угадать, пользуясь теоремой Виета).
У второй скобки корни найдем, выделив полный квадрат:
x^2 + 8x - 5 = 0
x^2 + 8x + 16 = 16 + 5
(x + 4)^2 = 21
x = -4 +- sqrt(21)

Нужны корни, которые не меньше 1/3. У первой скобки это 1, у второй - точно не -4 - sqrt(21) < 0 и возможно -4 + sqrt(21).

Сравним -4 + sqrt(21) и 1/3. Обозначим неизвестный значок за v и попереписываем:
-4 + sqrt(21) v 1/3
sqrt(21) v 1/3 + 4
sqrt(21) v 13/3
3 sqrt(21) v 13
sqrt(183) v sqrt(169) - отсюда ясно, что v = '>', -4 + sqrt(21) > 1/3.

Получается, у уравнения есть два корня x = 1 и x = -4 + sqrt(21).

ответ. sqrt(21) - 3.

P.S. Можно было не сравнивать sqrt(21) - 4 и 1/3, а поступить иначе. Заметим, что график y = x^2 + 8x - 5 - квадратичная парабола, ветви направлены вверх, ось симметрии x = -4. Тогда если y(1/3) < 0, то больший корень будет больше 1/3.