Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми Приведите схематический рисунок
y=-x²+2x,y=0​

Привет! Давай разберем этот вопрос вместе.

Для начала, нам нужно построить схематический рисунок фигуры, ограниченной заданными кривыми.

На графике мы будем использовать систему координат. Ось X будет горизонтальной, а ось Y — вертикальной.

Для начала, построим графики обеих кривых:

1. Кривая y = -x² + 2x:
- Заметим, что коэффициент при x² отрицательный, значит график будет параболой, которая открывается вниз.
- Для того, чтобы найти вершину параболы, используем формулу x = -b / (2a), где a и b — коэффициенты в уравнении квадратного трехчлена.
- В данном случае, a = -1, b = 2, поэтому x = -2 / (2 * -1) = 1.
- Подставим этот x в уравнение, чтобы найти y: y = -(1)² + 2(1) = -1 + 2 = 1.
- Таким образом, вершина нашей параболы будет точкой (1, 1).
- Построим график, учитывая вершину и форму параболы:

* Вершина (1, 1)
* Положительное значение при x в правой части уравнения означает, что график будет расширяться вправо.
* (0, 0) и (2, 0) — это точки пересечения графика с осью X.

2. Кривая y = 0:
- Это горизонтальная прямая, проходящая через ось X (oX) на уровне y = 0.

Теперь, изобразим оба графика на нашей схематической картине.

```
|
|
|
| _________
| / (1, 1)
| /
| /
.___________________________
| | | | |
-2 -1 0 1 2

```

Теперь, для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми, нам нужно найти площадь между кривыми и осью X на заданном интервале.

В данном случае, видим, что фигура ограничена следующими точками:
- Слева она ограничена осью X, а значит x = -2.
- Справа она ограничена точкой пересечения графиков, где y = 0, а значит x = 2.

Теперь давай пошагово решим задачу:
1. Найдем точки пересечения графиков. Подставим y = 0 в уравнение первой кривой и решим его:
- 0 = -x² + 2x.
- Перенесем все в одну сторону и приведем уравнение к виду x² - 2x = 0.
- Дальше мы можем факторизовать это уравнение: x(x - 2) = 0.
- Используя свойство нулевого произведения, получим, что x = 0 или x = 2.
- То есть, точки пересечения графиков находятся в точках (0, 0) и (2, 0).

2. Теперь, используя найденные точки пересечения, мы можем найти площадь фигуры ограниченной кривыми и осью X:
- Площадь = |∫[a,b] y dx|, где a и b — точки пересечений графиков (в нашем случае a = 0, b = 2).
- Подставим наши точки в формулу: Площадь = |∫[0,2] (-x² + 2x) dx|.
- Теперь найдем интеграл:
∫(-x² + 2x) dx = -∫(x² - 2x) dx. (Минус находится вне интеграла, так как график находится ниже оси X).
- Интегрируем каждую часть отдельно:
∫x² dx = (1/3)x³.
∫2x dx = x².
- Получаем интеграл: -((1/3)x³ - x²).
- Вычислим его значения от a до b: -((1/3)2³ - 2²) = -((8/3) - 4) = -((8/3) - (12/3)) = -(-4/3) = 4/3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, составляет 4/3 единицы площади.

Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и подробным. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!