Найдите остаток от деления на 201^102+102^201 на 6.

Игорь конечно молодец , но можно проще :

201^102 -  нечетно , 102^201 - четно ⇒ сумма этих чисел -

нечетное число ⇒ на 2 оно не делится ⇒ оно не делится на 6

 , но каждое из них кратно 3  ⇒ сумма также кратна 3 , пусть

 201^102+102^201  = b и b = 6q+r ⇒ r = b -6q ⇒ r кратно 3 , но  из

возможных  остатков только 3 кратно 3 ( r ≠ 0) ⇒  r = 3

ответ :  остаток равен  3

201¹⁰²+102²⁰¹≡3¹⁰²+0²⁰¹(mod 6)=3¹⁰²=9⁵¹≡3⁵¹(mod 6)=3*9²⁵≡3*3²⁵(mod 6)=9¹³≡3¹³(mod 6)=27⁴*3≡3⁴*3(mod 6)=9²*3≡3²*3(mod 6)=27≡3(mod 6)

Значит 201¹⁰²+102²⁰¹≡3(mod 6), то есть дает остаток 3 при делении на 6.

В решении использованы свойства сравнения чисел по модулю