Алгебра: найдите общий вид первообразных для функции y=f(x)

Пользуемся правилом интегрирования функции, зависящей от линейной функции: если , то Возможно, судя по остальным примерам, корень был над всем выражением (х+2) , тогда ...

найдите общий вид первообразных для функции y=f(x)

Ответы

nelli37 11.04.2022 06:00

Пользуемся правилом интегрирования функции, зависящей от

линейной функции: если $\displaystyle \int f(x)\, dx=F(x)+C$ , то

$\displaystyle \int f(kx+b)\, dx=\frac{1}{k}\cdot F(kx+b)+C\ .$

$\displaystyle 1)\ \ F(x)=\int \frac{dx}{\sqrt{x}+2}+\int sin(3-\frac{x}{4})\, dx=\Big[\ \sqrt{x}=t\ ,\ x=t^2\ ,\ dx=2t\, dt\ \Big]==\int \frac{2t\, dt}{t+2}-(-4)\cdot cos(3-\frac{x}{4})=2\int \Big(1-\frac{2}{t+2}\Big)\, dt+4\, cos(3-\frac{x}{4})==2(t-2\, ln|t+2|)+4cos(3-\frac{x}{4})+C==2(\sqrt{x} -2\, ln(\sqrt{x} +2))+4cos(3-\frac{x}{4})+C$

Возможно, судя по остальным примерам, корень был над всем выражением (х+2) , тогда

$\displaystyle F(x)=\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}}+\int sin(3-\frac{x}{4})\, dx=2\sqrt{x+2}+4\, cos(3-\frac{x}{4})+C$

$\displaystyle 2)\ \ F(x)=\int \frac{dx}{2\sqrt{x-5}}+\int cos(2+\frac{x}{3})\, dx=\sqrt{x-5}+3sin(2+\frac{x}{3})+C3)\ \ F(x)=\int \frac{3\, dx}{2\sqrt{3-4x}}+\int \frac{dx}{(x+2)^3}=3\cdot \frac{1}{-4}\, \sqrt{3-4x}+\frac{(x+2)^{-2}}{-2}+C==-\frac{3}{4}\, \sqrt{3-4x}+\frac{1}{2(x+2)^2}+C$

$4)\ \ \displaystyle F(x)=\int \frac{4}{5\sqrt{2+3x}}-\int \frac{dx}{(2-x)^4}=\frac{4}{5}\cdot 2\sqrt{2+3x}-\frac{(2-x)^{-3}}{-3}+C==\frac{8}{5}\cdot \sqrt{2+3x}+\frac{1}{3(2-x)^3}+C$