Найдите общий вид первообразной для функции:
f(x)=2(3x+1)^5​

Хорошо, я помогу вам найти общий вид первообразной для функции f(x) = 2(3x+1)^5.

Для начала, давайте вспомним, что первообразная — это функция, производная которой равна данной функции. То есть, нам нужно найти функцию F(x), такую что F'(x) = f(x).

Для решения этой задачи можно использовать метод замены переменной. Давайте введем новую переменную u = 3x + 1. Тогда x = (u - 1)/3, и мы можем переписать функцию f(x) с использованием новой переменной:

f(x) = 2(3x+1)^5 = 2u^5.

Теперь мы можем найти производную функции f(x) по переменной u: f'(u) = 10u^4.

Сравним это с нашей оригинальной задачей: F'(x) = f(x) = f(u). То есть, нам нужно, чтобы F'(x) была равна f(u) = 10u^4.

Теперь, найдем первообразную для f(u):

∫(10u^4) du = (10/5)u^5 + C1 = 2u^5 + C1, где C1 — произвольная константа интегрирования.

Вспомним, что x = (u - 1)/3. Заменим u в выражении, чтобы получить функцию вида F(x):

F(x) = 2((u - 1)/3)^5 + C1 = 2((3x+1-1)/3)^5 + C1 = 2(x)^5 + C1.

Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = 2(3x+1)^5 равен F(x) = 2(x)^5 + C1, где C1 — произвольная константа интегрирования.