Найдите наименьшее значение функции y=(x^2+49)/x на отрезке [1; 19]

Найдем критические точки, для этого найдем производную и приравняем ее нулю, или точки, в которых производная не существует:
y(x) = x + 49/x
y`(x) = 1 - 49/x^2 = 0
x^2 = 49, т.е. х1 = -7, х2 = 7
Не существует в точке х = 0.
Данному интервалу соответствует только одна точка, х = 7.
Найдем что это за точка, для этого найдем 2 производную и подставим туда значение х = 7:
y``(x) = 98/x^3
y``(7) = 98/343 ,т.к. вторая производная положительна, то имеем точка минимума.
Минимальное значение функции достигается в точке х = 7 и равно:
y(7) = 7 + 49/7 = 14

Добро пожаловать в наш урок, где мы с вами будем решать задачу на поиск наименьшего значения функции.

Данная задача имеет вид: найти наименьшее значение функции y = (x^2 + 49)/x на отрезке [1;19]. Для начала, давайте разберемся, что такое функция и как ее описать.

Функция - это правило, которое сопоставляет каждому элементу одного множества (называемого областью определения) элемент другого множества (называющийся областью значений). В данной задаче, у нас есть функция y, которая зависит от переменной x.

Теперь, когда мы разобрались с понятием функции, давайте посмотрим на заданное уравнение и выясним, как мы можем найти наименьшее значение функции на заданном отрезке.

Уравнение для функции y = (x^2 + 49)/x имеет вид дроби, где числитель - это квадрат переменной x, а знаменатель - сама переменная x. Наше задание - найти наименьшее значение функции на отрезке [1;19].

Давайте проверим, является ли заданный отрезок отрезком возрастания или убывания функции. Для этого найдем производную функции.

Для начала, распишем функцию y = (x^2 + 49)/x:
y = x^2/x + 49/x
y = x + 49/x
Теперь найдем производную функции. Производная функции y равна производной числителя минус производной знаменателя, деленной на знаменатель в квадрате:
y' = (1 * x - x * 1)/ x^2
y' = (x - 1)/x^2

Давайте проанализируем производную функции на отрезке [1;19], чтобы определить, возрастает или убывает функция в данном отрезке.

Для этого, найдем точки, в которых производная равна нулю:
(x - 1) = 0
x = 1

Таким образом, мы получили, что производная равна нулю только в точке x = 1 на заданном отрезке [1;19].

Теперь, давайте построим таблицу знаков и определим поведение функции на отрезке [1;19]:

x | (x - 1) | x^2 + 49 |
--------|------------|------------|
0 | - | + |
1- | - | + |
1 | 0 | + |
1+ | + | + |

Из таблицы знаков видно, что функция возрастает на промежутке (1;19].

Мы знаем, что наименьшее значение функции достигается или на границах отрезка, или в точке, где функция изменяет направление возрастания на убывание (то есть производная равна нулю).

Так как функция возрастает на промежутке (1;19], мы можем сделать вывод, что наименьшее значение функции f(x) = (x^2 + 49)/x достигается на границе отрезка [1;19].

Теперь найдем значение функции f(x) при x = 1 и x = 19:

При x = 1:
f(1) = (1^2 + 49)/1
f(1) = (1 + 49)/1
f(1) = 50/1
f(1) = 50

При x = 19:
f(19) = (19^2 + 49)/19
f(19) = (361 + 49)/19
f(19) = 410/19

Мы получили два значения функции: f(1) = 50 и f(19) = 410/19. Для определения наименьшего значения функции нам нужно найти минимальное значение из этих двух.

Из анализа видно, что 50 < 410/19, поэтому наименьшее значение функции равно 50.

Таким образом, наименьшее значение функции y = (x^2 + 49)/x на отрезке [1;19] составляет 50.

Это было решение задачи на поиск наименьшего значения функции с пошаговым объяснением каждого шага.