Алгебра: Найдите наименьшее значение функции f (x)=4^x - 2^x+4 + 100

Для поиска наименьшего значения функции необходимо найти ноли производной т.е. точки, где у функции будет экстремум, и показать, что до экстремума функция падает, т.е. производная а после экстремума функция растёт, т.е. производная Пользуемся правилами дифференцирования:1) ;2) ;3) ;Берём производную, в соответствии с 3) : ; ;Потребуем: ; ; ; ; причём это единственный корень.При например при т.е. функция убывает.При например при т.е. функция растёт.Значит при как раз достигается минимум: ;О т в е...

Найдите наименьшее значение функции f (x)=4^x - 2^x+4 + 100

Ответы

HupiTip 20.09.2020 09:27

F(x)=2^(2x)-2^(x+4)+100=2^(2x)-2^4*2^x+100=2^(2x)-16*2^x+100

2^(x)=t
t^2-16t+100=0-парабола,ветки вниз.найдем координаты вершины:
t(min)=16/2=8
2^(x)=8
2^(x)=2^3
x=3
f(3)=64-128+100=36-наименьшее значение функции

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

ismaildior200920 20.09.2020 09:27

Для поиска наименьшего значения функции f(x)

необходимо найти ноли производной f'(x) = 0 ,

т.е. точки, где у функции будет экстремум, и показать, что до экстремума функция f(x)

падает, т.е. производная f'(x) < 0 ,

а после экстремума функция растёт, т.е. производная f'(x) 0 .

Пользуемся правилами дифференцирования:

1) ( e^x )' = e^x

;

2) $( \psi (kx+q) )' = k \psi '(kx+q)$ ;

3) $( a^{x+b} )' = ( ( e^{ \ln{a} } )^{x+b} )' = ( e^{ (x+b) \ln{a} } )' = \ln{a} \cdot e^{ (x+b) \ln{a} } = \ln{a} \cdot a^{x+b}$ ;

Берём производную, в соответствии с 3) :

$f'(x) = \ln{4} \cdot 4^x - \ln{2} \cdot 2^{x+4} =$

$= 2\ln{2} \cdot (2^2)^x - \ln{2} \cdot 2^{x+4} = \ln{2} ( 2^1 \cdot 2^{2x} - 2^{x+4} )$ ;

$f'(x) = \ln{2} ( 2^{2x+1} - 2^{x+4} )$ ;

Потребуем: f'(x) = 0