Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 22 даёт в остатке 14, а при делении на 17 даёт в остатке 9.

Пусть искомое число x, тогда x = 22*p + 14  и  x = 17*q + 9;  p и q  неотрицательные целые числа.

22*p + 14 = 17*q + 9 ;

22*p - 17*q + 5 = 0; решаем последнее ур-е, как ур-е в целых числах, частным решение является (-1; -1)

22*(-1) - 17*(-1) +5 = 0; вычитаем последние 2 равенства:

22*(p+1) - 17*(q+1) = 0;

22*(p+1) = 17*(q+1);

т.к. 22 и 17 взаимно просты, то (q+1) делится нацело на 22, а (p+1) делится нацело на 17;

q+1 = 22*A;   p+1 = 17*B;

22*17B = 17*22*A; A=B = t;

q= 22*t - 1;

p= 17*t - 1;

Наименьшее неотрицателные значения p и q , достигаются при t=1;

q=21;

p=16;

x = 22*16 + 14=366;

x = 17*21+ 9=366;

Пусть это чилос х.

Тогад по первому условию:

х=13k+10, где k - какое то натуральное число, 

и по второму условию:

х=8l+2,  где l - какое то натуральное число.

Для начала сделаем оценку:

х<1000

13k+10<1000

13k<990

k<77

Теперь приравниваем те два равентва:

13k+10=8l+2

13k+8=8l

13k=8(l-1)

Правая часть равенства делится на 8, значит, и левая тоже. Т.к. 13 не кратно 8, то k делится на 8.

Самое большое число k<77 и кратное 8, это k=72

Подставляем в равентсво и получаем, что х=946

Проверкой убеждаемся, что оно подходит.