Найдите наименьшее целое решение неравенств: 1) x^2-2x+6/x+1> x 2) 1/x-2+1/x-1> 1/x

Значит, смотри. Первое.
x²-2x+6/x+1>x
x≠-1
x²-2x+6/x+1-x>0
x²-2x+6-x*(x+1)/x+1>0
x²-2x+6-x²-x/x+1>0
-3x+6/x+1>0
-3x+6>0
x+1>0 
далее меняем знаки  последних двух на < и далее
x<2
x>-1
снова меняем знаки и получается
x∈(-1;2)

Второе неравенство:
1/x-2+1/x-1>1/x
x≠2
x≠1
x≠0
1/x-2+1/x-1-1/x>0
x(x-1)+x(x-2)-(x-2)(x-1)/x(x-2)(x-1)>0
x²-x+x²-2x-(x²-3x+2)/x(x-2)(x-1)>0
раскроем скобки. это элементарно, поэтому переписывать не буду. далее идем
0+x²-2/x(x-2)(x-1)>0
x²-2/x(x-2)(x-1)>0
x²-2>0
x(x-2)(x-1)>0
снова меняем знаки 
x∈(-∞; -√2)∪(√2; +∞)
х∈(0; 1)∪(2;+∞)
х∈(-√2; √2)
х∈(-∞; 0)∪(1; 2)
х∈(2; +∞)
х∈(-√2;0)∪(1;√2)
и ответ будет х∈(-√2; 0)∪(1; √2)∪(2; +∞)