Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 1+5*корень(x^2+9) и определите, при каких значениях х оно достигается. , !

Y = 1 + 5√(x² + 9)
Наименьшее значение при х[min] = 0 => у[min] = 16
Наибольшего значения нет.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = 1 + 5 * корень(x^2 + 9) и определения, при каких значениях х эти значения достигаются, мы можем использовать некоторые методы анализа функций.

Для начала, заметим, что в данной функции у нас есть корень, а значит выражение x^2 + 9 должно быть неотрицательным числом (иначе корень будет комплексным числом, а функция определена только для действительных чисел). Это означает, что x^2 + 9 ≥ 0.

Теперь, рассмотрим производную функции y по x. Для этого используем правило дифференцирования сложной функции. Производная функции y будет равна производной внешней функции (1 + 5 * корень(u)) умноженной на производную внутренней функции (u = x^2 + 9).

Производная внешней функции:
(dy/du) = 5/(2 * корень(u))

Производная внутренней функции:
(du/dx) = 2x

Теперь, чтобы найти производную функции y по x, умножаем эти две производные:
(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx) = (5/(2 * корень(u))) * (2x) = 5x/(корень(x^2 + 9))

Чтобы найти критические точки функции, где производная равна нулю или не существует, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
5x/(корень(x^2 + 9)) = 0

Для того чтобы дробь была равной нулю, числитель должен быть равен нулю. То есть, 5x = 0 ⇒ x = 0.

Таким образом, мы получили критическую точку x = 0. Подставляя это значение обратно в исходную функцию y = 1 + 5 * корень(x^2 + 9), получаем y = 1 + 5 * корень(0^2 + 9) = 1 + 5 * корень(9) = 1 + 5 * 3 = 16.

Таким образом, получили, что при x = 0, y = 16.

Теперь осталось определить наибольшее и наименьшее значение функции.

Очевидно, что корень всегда неотрицательный, поэтому 5 * корень(x^2 + 9) ≥ 0, так что наша функция y всегда больше или равна 1.

То есть, наименьшее значение функции y будет равно 1, и достигается при x = 0.

Найдем наибольшее значение функции, зная, что корень всегда неотрицательный и может равняться нулю только при x = 0. Значит, наибольшее значение функции будет достигаться, когда корень в выражении x^2 + 9 будет максимальным.

Но так как корень всегда неотрицательный, то значение корня будет максимальным, когда значение внутри корня будет максимальным.

Таким образом, наибольшее значение корня в выражении x^2 + 9 будет достигаться при максимальном значении x.

Поскольку мы не ограничены в задаче указанным промежутком значений x, предположим, что x может быть любым действительным числом.

Тогда x^2 будет достигать своего максимального значения при x = ±∞. Поскольку x^2 + 9 ≥ 9 для любого действительного x, то корень будет достигать своего максимального значения при x = ±∞.

Таким образом, в нашей функции y = 1 + 5 * корень(x^2 + 9) наибольшее значение будет достигаться при x = ±∞, и оно равно +∞.

Итак, наименьшее значение функции y равно 1 и достигается при x = 0, а наибольшее значение функции y является неограниченной величиной и достигается при x = ±∞.