Найдите множество решений неравенства |x-a|(3x^2-x-4) в зависимости от значения параметра a

Хорошо, давайте разберемся с этим неравенством.

Неравенство, которое дано: |x-a|(3x^2-x-4)

Вначале, выражение |x-a| может быть положительным или нулем, в зависимости от значения x и a.

Если x ≥ a, то |x-a| = x-a, и неравенство может быть записано как (x-a)(3x^2-x-4) ≥ 0.

Если x < a, то |x-a| = -(x-a) = a-x, и неравенство может быть записано как (a-x)(3x^2-x-4) ≥ 0.

Далее разберем каждый случай отдельно:

1. Пусть x ≥ a:

Таким образом, у нас есть неравенство (x-a)(3x^2-x-4) ≥ 0.

Чтобы найти множество решений, нужно проанализировать знаки каждого множителя.

a) (x-a) ≥ 0: это выполнено только при x ≥ a.

b) (3x^2-x-4) ≥ 0: для этой квадратной функции мы можем решить неравенство, используя метод интервалов.

- Сначала найдем корни уравнения 3x^2-x-4 = 0:
Решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня.
3x^2-x-4 = (x-1)(3x+4) = 0
Получаем два корня: x = 1 и x = -4/3.

- Разобьем интервалы числовой прямой на основе найденных корней и посмотрим знак каждого множителя в интервалах.
a) Для x < -4/3: (3x^2-x-4) < 0, так как обе части неравенства имеют разные знаки.
b) Для -4/3 < x < 1: (3x^2-x-4) > 0, так как обе части неравенства имеют одинаковый знак.
c) Для x > 1: (3x^2-x-4) > 0, так как обе части неравенства имеют одинаковый знак.

Таким образом, множество решений при x ≥ a будет:
- Ответ: x ≥ a и -4/3 < x < 1.

2. Пусть x < a:

Теперь у нас есть неравенство (a-x)(3x^2-x-4) ≥ 0.

Аналогично первому случаю, нужно проанализировать знаки каждого множителя.

a) (a-x) ≥ 0: это выполнено только при x ≤ a.

b) (3x^2-x-4) ≥ 0: мы уже рассмотрели это в первом случае и знаем его знаки на разных интервалах.

Таким образом, множество решений при x < a будет:
- Ответ: x ≤ a и x < -4/3 или 1 < x

Это максимально подробное и обстоятельное решение неравенства |x-a|(3x^2-x-4) в зависимости от значения параметра a.