1. Алгебра
  2. Найдите корни уравнения на заданном

Найдите корни уравнения на заданном промежутке: cos^2(3x+pi/4)-sin^2(3x+pi/4)+sqrt3/2=0 x э [3п/4; п]

232306 232306    1   28.03.2019 22:20    0

Ответы
nyutasova nyutasova  27.05.2020 07:00

Здесь применима формула двойного угла для косинуса.

\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos(2*\alpha)

Если обозначить выражение в скобках через t, то есть t=3x+\frac{\pi}{4},  то уравнение переписывается следующиим образом

\cos^2(t)-\sin^2(t)+\frac{\sqrt{3}}{2}=0.

\cos(2t)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Если подставить значение t, то получим

\cos\left(6x+\frac{\pi}{2} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Воспользуемся формулой косинуса суммы углов

\cos(6x)\cos(\frac{\pi}{2})-\sin(6x)\sin(\frac{\pi}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{2}

-\sin(6x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

\sin(6x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

6x=(-1)^k*\frac{\pi}{3}+\pi*k, \quad k\in Z

x=(-1)^k*\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{6}*k, \quad k\in Z

Заметим, что при k=6, корень уже не попадает в заданный промежуток [\frac{3\pi}{4}; \pi],

k=5 \qquad -\frac{\pi}{18}+\frac{5\pi}{6}=-\frac{\pi}{18}+\frac{15\pi}{6}=\frac{14\pi}{18}=\frac{7\pi}{9}

Докажем, что \frac{7\pi}{9}\in [\frac{3\pi}{4};\pi]

\frac{7\pi}{9}=\frac{28\pi}{36};\quad \frac{3\pi}{4}=\frac{27\pi}{36}

\frac{28\pi}{36}\in (\frac{27\pi}{36};\pi)

k=4 \qquad \frac{\pi}{18}+\frac{4\pi}{6}=\frac{13\pi}{18} Этот корень уже не попадает в промежуток, потому что

\frac{13\pi}{18}=\frac{26\pi}{36}

\frac{26\pi}{36}<\frac{27\pi}{36}=\frac{3\pi}{4}

То есть всего лишь один корень попадает в этот промежуток

ответ: при k=5  x=\frac{7\pi}{9}

 

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
ingamelnik99 ingamelnik99  04.06.2020 23:04
Вращение тела вокруг оси совершается по закону φ(t)=0,6t^2-8t. Найдите, в какой момент времени тело остановиться. (t– время в секундах, φ(t) — угол поворота в радианах)....
19791207the 19791207the  05.06.2020 23:29
Решите уравнения, всё на картинке!...
Terhiop Terhiop  23.04.2020 09:46
Сумма первых н-членов геометрической прогрессии!!...
плиз168 плиз168  23.04.2020 09:46
Известно, что a 8 и b 4. Оцените значение выражения 1. А/4+3б 2. 3/a+5/б 3. - 2 аб 4. 20 - б в квадрате. Оч...
katerina348 katerina348  23.04.2020 09:46
Во для самопроверки нужно. и лучший ответ...
spurdosparde228 spurdosparde228  23.04.2020 09:46
Графически найди корни системы уравнений.{y=4x {y−x=3​...
rukozhop2002 rukozhop2002  23.04.2020 09:44
1.Найдите значение выражения : 6а²-2а-1 при а= 1...
artemovfoxy1987 artemovfoxy1987  23.04.2020 09:44
Разложите на множители: 2(x-y)+(x-y)...
Сергей102007 Сергей102007  23.04.2020 09:44
Решите задачу Найдите длины сторон...
agnesaudal agnesaudal  23.04.2020 09:44
1. Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонная АС, которая образует с прямой а угол в . Найдите расстояние от точки А до прямой а, если АС=18 см....

Популярные вопросы