Найдите cos2a если tg a/2=1/2​

Для того чтобы найти значение выражения cos2a, воспользуемся формулой двойного угла: cos2a = cos^2a - sin^2a.

Известно, что tg a/2 = 1/2. При этом, tg a/2 = sin(a/2)/cos(a/2), поэтому мы можем записать соотношение sin(a/2)/cos(a/2) = 1/2.

Разделим числитель и знаменатель дроби sin(a/2)/cos(a/2) на cos(a/2:

sin(a/2)/cos(a/2) / cos(a/2)/cos(a/2) = (sin(a/2) * cos(a/2)) / cos^2(a/2) = 1/2.

Теперь у нас есть уравнение, с которым мы можем работать. Для удобства, введем новую переменную x = cos(a/2):

(sin(a/2) * cos(a/2)) / cos^2(a/2) = 1/2.
(sin(a/2) * x) / x^2 = 1/2.

Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:

(sin(a/2) * x) = (1/2) * x^2.

Теперь вспомним, что синус может быть представлен в виде корня из единицы минус косинус квадрата угла, а значит sin(a/2) = √(1 - cos^2(a/2)):

√(1 - cos^2(a/2)) * x = (1/2) * x^2.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(1 - cos^2(a/2)) * x^2 = (1/4) * x^4.

Раскроем скобки:

x^2 - x^2 * cos^2(a/2) = (1/4) * x^4.

Вынесем x^2 за скобки:

x^2 * (1 - cos^2(a/2)) = (1/4) * x^4.

Заменим (1 - cos^2(a/2)) на sin^2(a/2) согласно тригонометрическому тождеству sin^2(a/2) + cos^2(a/2) = 1:

x^2 * sin^2(a/2) = (1/4) * x^4.

Разделим обе части уравнения на x^2:

sin^2(a/2) = (1/4) * x^2.

Теперь заменим x на cos(a/2):

sin^2(a/2) = (1/4) * cos^2(a/2).

Заменим sin^2(a/2) на 1 - cos^2(a/2) согласно тригонометрическому тождеству sin^2(a/2) + cos^2(a/2) = 1:

(1 - cos^2(a/2)) = (1/4) * cos^2(a/2).

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

4 - 4 * cos^2(a/2) = cos^2(a/2).

Сгруппируем члены справа:

4 = 5 * cos^2(a/2).

Разделим обе части уравнения на 5:

cos^2(a/2) = 4/5.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

cos(a/2) = ±√(4/5).

На данном этапе, мы получили два возможных значения для cos(a/2). Однако, чтобы определить конкретное значение, нам необходимо знать диапазон угла a. Если a находится в диапазоне от 0 до π/2, то cos(a/2) будет положительным. Если a находится в диапазоне от -π/2 до 0, то cos(a/2) будет отрицательным.

Таким образом, в данном случае мы получим два возможных значения cos2a:

- cos^2(a/2) = (2/√5)^2 = 4/5,
- cos^2(a/2) = (-2/√5)^2 = 4/5.

Ответ: cos2a = 4/5.