Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 60. в ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число кратно 22-ум только в том случае, когда оно делится и на 2, и на 11 (по основной теореме арифметики). То есть крайняя правая цифра числа должна быть кратной 2 и разность суммы цифр, стоящих на четных местах, и цифр на нечетных делиться на 11. Примеры любых таких чисел( это не ответ к задаче) : 66889966; 2112. 





В задаче требуется, чтобы произведение цифр искомого числа равнялось 60. Возьмем, например, число 6512. 6·5·1·2 = 60. Теперь проверим, делится ли такое число на 11: (6 +1) - (5+2) = 7-7 = 0 - значит искомое число делится на 11;



проверим также, делится ли оно на 2:  крайняя цифра числа 2 - значит оно кратно двум.



Так как искомое число делится и на 2, и на 11 - значит оно делится на 22:



ответ: 6512.

Рассмотрим теперь, сколько всего может быть чисел, удовлетворяющих нашему условию. Для этого разложим 60 на простые множители. 60=2·2·3·5. Это значит, что чисел, кроме: 1,2,3,4,5,6 в искомом числе быть не может. Докажем теперь, что в искомом числе не может быть цифры 3. Пусть искомое число содержит 3, тогда произведение оставшихся чисел равняется 20. А разбив 20 на простые множители, получим: 2²·5=20. Следовательно, оставшиеся цифры искомого числа: 1,2,4,5.  Составим из оставшихся трех чисел число 20: 2·2·5 ; 4·5·1. Всего 2 варианта составления, без учета перестановок. А это означает, что искомое число не содержит число три: 1) 3+2 =5 , а 2+5≠ 5; 2) 3+5 =8, а 2+2≠8 ; 3) 3+1 = 4, а 4+5 ≠4 ; 4)3+5 =8, а 4+ 1≠ 5; 5) 3+4 = 7, а 5+1 ≠7. Из пунктов 1) - 5) можно сделать вывод, что если искомое число содержит 3, то оно не будет кратно 11, а значит и 22. 

Докажем, что указанное число не содержит цифру 4. Если искомое число содержит цифру 4, то произведение оставшихся трех цифр равняется 15. Разложив число 15 на простые множители, убедимся, что: 15 = 3·5. А это означает, что искомое число содержит 3, что противоречит предыдущему доказательству.

У нас остались следующие числа для составления искомого числа: 1, 2, 5, и 6.
Рассмотрим теперь все оставшиеся варианты составления указанного числа: [1] если на первом месте (слева) стоит 1, то на третьем месте 6.  Следовательно остается один вариант составления искомого числа 1562;
[2]  если на первом месте (слева) стоит 2, то на третьем месте 5. Значит остается один вариант составления указанного в условии числа 2156;
[3] если же на первом месте (слева) стоит 5, то на третьем место цифра 2. А это значит, что у нас имеется всего один вариант для составления искомого числа: 5126. 
[4] если на первом месте (слева) стоит 6, то на третьем место будет стоять 1, что означает, что у нас остался последний вариант составления искомого числа: 6512.

С пунктов [1] - [4] придем к заключению: можно составить лишь четыре числа, которые будут удовлетворять условию задачи, а именно: 1562, 2156, 5126, 6512. 

Чтобы число делилось на 22,оно должно делиться на 2 и 11.Значит должно оканчиваться 0,2,4 или 8 и сумма цифр ,стоящих на четных местах должна равняться сумме цифр ,стоящих на нечетных местах.
Исходя из условия на 0 оканчиваться не может,тогда произведение будет равно 0.
1)пусть в конце стоит 2,тогда произведение трех первых равно 30
30=1*5*6
Тогда это число 1562 или 6512
1+6=5+2
2)пусть в конце стоит 4,тогда произведение трех первых равно 15
15=1*3*5
Не подходит ,так как сумма всех 13 и на 2 равных суммы не разделить
3)пусть в конце стоит 6,тогда произведение трех первых равно 10
10=1*2*5
Тогда число 5126 или 2156