1. Алгебра
  2. Найдите целые решения

Найдите целые решения уравнений: х^2-ху+у^2=7 х^2+2ху+2у^2=5 (система)

лялялятраляляля1 лялялятраляляля1    2   18.03.2019 16:30    1

Ответы
danlestern danlestern  26.05.2020 00:17

\left \{ {{x^2-xy+y^2=7} \atop {x^2+2xy+2y^2=5}} \right

Сложим первое уравнение,домноженное на 2 со вторым:

3x^2+4y^2=19

Очевидно,что x и y не обращаются в ноль,так как число 19 простое и не имеет делителей на интервале (1;19)

Значит:

\left \{ {{3x^2=19-4y^2<19} \atop {4y^2=19-3x^2<19}} \right

\left \{ {{x^2=<6\frac{1}{3}} \atop {y^2<4\frac{3}{4}}} \right

\left \{ {{|x| \in [1;2]} \atop {|y| \in [1;2]}} \right

Из полученных отрезков лишь пара значений модулей удовлетворяет нашему уравнению:

(|x|;|y|)=(1;2)

Осталось лишь раскрыть модуль,сделаем это следующим образом:

Рассмотрим полиномы вида:

\left \{ {{F_1(x,y)=x^2-xy+y^2-7} \atop {F_2(x,y)=x^2+2xy+2y^2-5}} \right

Подставим модули корней x_0;y_0 под степени 2,так как они являются четными и не меняют значение:

\left \{ {{F_1(x_0,y_0)=|1|^2-x_0y_0+|2|^2-7} \atop {F_2(x_0,y_0)=|1|^2+2x_0y_0+2|2|^2-5}} \right

\left \{ {{F_1(x_0,y_0)=-x_0y_0-2} \atop {F_2(x_0,y_0)=2x_0y_0+3}} \right

Очевидно,что для старших мономов вида x_0y_0 обоих полиномов для обращения последних в ноль определен отрицательный знак.Это выполнимо в случае только одного отрицательного и одного положительного переменного.

Значит возможные целочисленные значения решения исходной системы:

(x;y) \in (1;-2) \cup (-1;2)

 

 

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
ZikZaka2 ZikZaka2  26.07.2019 05:40
Найдите cosa если известно что sina 5/13,180 меньше а меньше270...
sashabelousoydf1w sashabelousoydf1w  26.07.2019 05:40
Решите уравнение x^2-8/x-2 = 2x/2-x...
00lom00 00lom00  26.07.2019 05:40
Решите уравнение : (х+3)^2 = (13-х)^2...
supertriom supertriom  26.07.2019 05:40
7класс выражение а минус б дробь 4 б в кубе...
LIZETTA111 LIZETTA111  05.04.2020 06:29
Найти общее решение cистемы линейных уравнений методом Гаусса...
hupri05 hupri05  05.04.2020 06:29
Если двузначное число разделить на число ,написанное теми же цифрами в обратном порядке , то в частном получится 4 , а в остатке 15;если же из данного числа вычесть 9 , то получится...
КсюшаЛор КсюшаЛор  05.04.2020 06:29
Расстояние между двумя пристанями теплоход по течению проходит за 4 часа, а против течения за 6 ч. За сколько часов проплывёт это расстояние плот?...
leratsvetik leratsvetik  05.04.2020 06:29
РЕБЯТА! ДАМ 27б НАЙДИТЕ МАТРИЦУ AB и BA:...
лолвсемогущий лолвсемогущий  10.04.2020 19:10
Реши неравенство а) (x + 8)(x - 5) 0...
popovat496 popovat496  10.04.2020 19:09
Контрольная работа по алгебре...

Популярные вопросы