Алгебра: Найдите целые корни уравнения x^4+2x^3-5x^2-4x+6 =0

Подбором попробуем найти первый корень. Возьмём единицу. Важно, что мы берём в качестве потенциальных целых корней всегда те числа, которые нацело делят свободный член полинома. - корень.Делим на (делиться будет по теореме Безу):Подбором попробуем найти второй корень. - ещё один целый корень.Делим на :Имеем, в итоге, два целых корня уравнения: -3 и 1....

Найдите целые корни уравнения x^4+2x^3-5x^2-4x+6 =0

Ответы

ivanovaizl 08.07.2020 22:52

Подбором попробуем найти первый корень. Возьмём единицу. Важно, что мы берём в качестве потенциальных целых корней всегда те числа, которые нацело делят свободный член полинома.

(1)^4 + 2(1)^3-5(1)^2-4(1)+6 = 1 + 2 - 5 - 4 + 6 = 0

(1)^4 + 2(1)^3-5(1)^2-4(1)+6 = 1 + 2 - 5 - 4 + 6 = 0

- корень.

Делим на x - 1

(делиться будет по теореме Безу):

$x^4 + a_1x^3 + a_2x^2+ a_3x + a_4 = (x - 1)(x^3 + b_1x^2 + b_2x + b_3)\\\\a_4 = -b_3, \ b_3 = - a_4\\\\a_3= b_3 - b_2, \ a_3 = -a_4 - b_2, \ b_2 = -(a_3 + a_4)\\\\a_2 = b_2 - b_1, \ a_2 = -(a_3 + a_4) - b_1, \ b_1 = -(a_1 + a_2 + a_3)$

x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6 = (x - 1)(x^3+3x^2 - 2x - 6)

x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6 = (x - 1)(x^3+3x^2 - 2x - 6)

Подбором попробуем найти второй корень.

$(-3)^3 + 3(-3)^2 - 2(-3) - 6 = -27 + 27 + 6 - 6 = 0\\\\$

x = -3

- ещё один целый корень.

Делим на x + 3

:

$x^3+a_1x^2 + a_2x + a_3 = (x + 3)(x^2 + b_1x + b_2)\\\\ a_3 = 3b_2, \ b_2 = \frac{1}{3}a_3\\\\ a_2 = b_2 + 3b_1, \ a_2 = \frac{1}{3}a_3 + 3b_1, \ 3b_1 = a_2 - \frac{1}{3}a_3$

$
x^3+3x^2 - 2x - 6 = (x + 3)(x^2 - 2)\\\\
x^2 - 2 = 0\\\\
(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\\\\
x = \pm\sqrt{2}$

Имеем, в итоге, два целых корня уравнения: -3 и 1.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра