Найди сумму натуральных чисел, не превосходящих 2100, которые делятся на 2 и 3, но не делятся на 7.

ответ: 315000

Объяснение:

Предварительно заметим, что сумма S всех натуральных чисел от 1 до M считается по формуле:

 S=M2+M2.

Действительно, последовательность натуральных чисел от 1 до M является арифметической прогрессией с начальным членом 1 и разностью 1. По формуле для суммы членов арифметической прогрессии получаем:

S=2⋅1+1⋅(M−1)2⋅M=M2+M2.

 1. Заметим, что если число делится на 2 и 3, то, так как эти числа взаимно просты, это число делится на 6.

 2. Найдём сумму всех чисел n, не превосходящих 2100, которые делятся на 2⋅3=6. Все такие числа имеют вид:

 n=6⋅m,   1≤m≤350.

 Имеем:

 6+2⋅6+3⋅6+...+350⋅6=6⋅(1+2+3+...+350)=368550.

 3. Все числа, не превосходящие 2100, которые делятся на 6, делятся на 2 типа: те, которые делятся на 7, и те, которые на 7 не делятся. Для того чтобы найти сумму тех чисел, которые не превосходят 2100, делятся на 6, но не делятся на 7, надо вычесть из суммы чисел, кратных 6, сумму чисел, кратных 2⋅3⋅7=42.

 4. Найдём сумму чисел, не превосходящих 2100 и кратных 42. Такие числа имеют вид:

 42⋅m, 1≤m≤50.

 Сумма этих чисел равна

 42⋅(1+2+...+50)=53550.

 5. Таким образом, искомая сумма чисел равна 368550−53550=315000.