На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что
AD=3, DC=9
. Площадь треугольника ABC равна 36. Найдите площадь треугольника BCD.

Для решения этой задачи сначала посмотрим на рисунок и определим, какие известные данные у нас есть и какие мы должны найти.

У нас имеется треугольник ABC, на стороне AC отмечена точка D так, что AD = 3 и DC = 9. Мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 36, и нас просят найти площадь треугольника BCD.

Для начала обратимся к формуле для площади треугольника: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, опущенную на это основание.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC и попробуем найти его основание и высоту. Мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 36. Пусть h обозначает высоту треугольника, и BC обозначает основание. Тогда площадь треугольника ABC можно записать как (1/2) * BC * h = 36.

Теперь нам нужно найти значения BC и h. Поскольку точка D является серединой стороны AC, отрезок AD равен отрезку DC. Дано, что AD = 3 и DC = 9. Сумма этих двух отрезков равна длине отрезка AC, то есть 3 + 9 = 12. Таким образом, AC = 12.

Теперь рассмотрим треугольник ABC снова. Сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. В нашем случае, AD + DC > AC. Заменим значения и получим 3 + 9 > 12, что верно. Это означает, что треугольник ABC является действительным треугольником.

Теперь, чтобы найти высоту треугольника h, можно использовать теорему Пифагора для треугольника прямоугольник ABC. Мы знаем, что гипотенуза равна AC = 12, один катет равен AD = 3, и нам нужно найти второй катет h. Используем теорему Пифагора:

AC^2 = AD^2 + h^2
12^2 = 3^2 + h^2
144 = 9 + h^2
h^2 = 135
h = √135 = 3√15

Таким образом, мы нашли высоту треугольника h, которая равна 3√15.

Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы найти основание треугольника BC. Подставим значения AC = 12 и h = 3√15 в уравнение для площади треугольника:

(1/2) * BC * 3√15 = 36
BC * 3√15 = 72
BC = 72 / (3√15) = (72√15) / 45 = 16√15 / 5

Таким образом, мы нашли значение основания треугольника BC, которое равно 16√15 / 5.

Теперь осталось найти площадь треугольника BCD. Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь BCD = (1/2) * BC * h

Подставим значения BC = 16√15 / 5 и h = 3√15:

Площадь BCD = (1/2) * (16√15 / 5) * (3√15)
= (48√15 / 10) * √15
= (48 * 15 / 10)
= 720 / 10
= 72

Таким образом, площадь треугольника BCD равна 72.