На доске написано три натуральных числа. Таня посчитала произведение числа, записанных на доске и получила число, оканчивающееся на 1010. А Ваня посчитал их сумму и получилось 9999. Не ошибся ли Ваня?

Давайте разберемся в этой задаче.

Пусть на доске записаны три натуральных числа, которые мы обозначим как a, b и c. Таня посчитала их произведение и получила число, оканчивающееся на 1010. То есть, мы можем записать это следующим образом:

a * b * c = n * 1010, где n - некоторое натуральное число.

С другой стороны, Ваня посчитал их сумму и получилось 9999, то есть:

a + b + c = 9999.

Теперь давайте посмотрим, можно ли утверждать, что Ваня ошибся. Для этого нам нужно взять произведение a * b * c и узнать, оканчивается ли оно на 1010.

Предположим, что произведение a * b * c оканчивается на 1010. Тогда можем записать:

a * b * c = k * 1010, где k - некоторое натуральное число.

Теперь мы можем поделить обе части этого уравнения на 1010, чтобы получить:

(a * b * c) / 1010 = k.

Заметим, что если a, b и c - натуральные числа, то и (a * b * c) / 1010 - натуральное число. Но нам также известно, что a + b + c = 9999.

Таким образом, получаем следующее равенство:

(a * b * c) / 1010 = 9999.

Учитывая то, что a, b, c > 0, мы можем сказать, что (a * b * c) / 1010 > 0. То есть, нам нужно найти такое натуральное число k, которое является решением уравнения (a * b * c) / 1010 = 9999 с условием k > 0.

Теперь давайте проверим, существуют ли такие a, b и c, для которых это уравнение могло бы быть верным.

Для выполнения равенства (a * b * c) / 1010 = 9999, число a * b * c должно быть равно 9999 * 1010. Заметим, что 9999 * 1010 = 10 109 890.

Теперь нам нужно разложить число 10 109 890 на произведение трех натуральных чисел a, b и c. Мы можем представить это число, используя его разложение на простые множители:

10 109 890 = 2 * 5 * 541 * 1999.

Теперь давайте выберем значения a, b и c таким образом, чтобы их произведение было равно 10 109 890. Поскольку мы хотим найти наиболее подробное и обстоятельное решение, предлагаю рассмотреть все возможные значения a, b и c.

Заметим, что 2 * 5 * 541 * 1999 = 20 * 541 * 1999 = 108 380. То есть, мы получили число, которое оканчивается на 1010.

Таким образом, подходящими значениями для a, b и c являются 2, 541 и 1999, соответственно. Мы можем проверить это, посчитав их сумму:

2 + 541 + 1999 = 2542.

Таким образом, Ваня ошибся, так как его сумма составила 2542, а не 9999.

Окончательный ответ: Ваня ошибся, так как сумма чисел на доске равна 2542, а не 9999.