На доске написанно число 8⁹⁹. у него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. что это за число?

 Это значит нужно найти остаток от деления данного числа на  ,  все это исходит от теоремы Паскаля  
 
 То есть нужно найти 
  , найти  
 остатки у числа повторяются   , когда число    в нечетной и четной степенях 
  , то есть ответом будет число