Можно ли обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя по одной линии дважды, правильный десятиугольник с диагоналями?

Леонард Эйлер доказал, что рисунок можно обвести одной линией, не отрывая карандаша от бумаги, в двух случаях:
1) Если в каждой узловой точке сходится четное количество линий.
Тогда можно начать рисовать в любой точке и закончить в ней же.
2) Если есть ровно 2 точки, в которых сходится нечетное количество линий.
Тогда НУЖНО начать в одной нечетной точке и закончить в другой.
Если начать в любой другой точке, то ничего не получится.
3) Если нечетных точек больше 2 (их всегда четное количество), то нарисовать рисунок одной линией вообще невозможно.

Теперь перейдем к нашей задаче. У 10-угольника из каждой вершины выходит 9 отрезков: 2 стороны и 7 диагоналей. То есть нечетное количество.
Поэтому такой рисунок построить одной линией нельзя.

Представим, что у нас есть граф на 10 вершинах. И нужно провести в нём все возможные рёбра одним росчерком (аналогия с условием задачи). Т.к. вершин 10, то из каждой вершины выходит по 9 рёбер к остальным 9 вершинам. Но если в графе больше двух вершин с нечётной степенью, то его одним росчерком начертить нельзя. 
ответ: нельзя.