Квадрат двузначного числа является числом четырёхзначным, а куб – шестизначным, причём в их запись входят все цифры от 0 до 9 включительно по одному разу.

Итак нам дано двухзначное число, такое что  х*х – четырёхзначное, а  х*х*х 
шестизначное. Так же известно, что цифры входящие в х*х и х*х*х составлены из 
цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Начнем с простого. 
Легко грубо оценить х, если х*х – четырёхразрядное число тогда 32<=Х<=99 
И также для шестизначного 47<=х*х*х<=99 
Значит, ищем Х среди множества целых чисел [47;99]   
Но с другой стороны можно сделать так: х*х*х*10000+х*х=А
Про число А нам известно, что сумма цифр А равна 45. Значит А делится на 9. 
Следовательно, сумма также делится на 9. Значит Х кратно 3. 
Несложно понять, что числа х*х*х и х*х – нечетные числа.   Значит и Х- тоже нечетное число 
Рассмотрим, какое число может стоять в разряде единиц в числе Х {1;3;5;7;9}   Если 1, тогда х*х*х и х*х оба числа имеют цифру 1 в разряде единиц, значит число А имеет две 1, а это противоречит условию. 
Если 3, тогда в разряде единиц х*х*х имеет 7, а х*х имеет 9. Значит потенциально подходит. 
Если 5, тогда х*х*х и х*х имеет цифру 5 в разряде единиц в обоих числах, значит число А имеет две 5, а это противоречит условию. 
Если 7, тогда х*х*х имеет цифру 3 и х*х имеет 9 в разряде единиц. Значит потенциально подходит. 
Если 9, тогда  х*х*х имеет цифру 9 и х*х имеет 1 в разряде единиц. Значит потенциально подходит.   
Претенденты на цифру в разряде единиц, это 3, 7 и 9.
Но не надо забывать, сумма цифр в разряде десятков и в разряде единиц, должно делится на 3. 
Не забывая что число Х находится в интервале от [47,99], рассмотрим эти варианты: 
Для цифры 3: Это 63 и 93. 
Для цифры 7: Это 57 и 87 
Для цифры 9: Это 69. Тривиально понятно, что число 99 не подойдет. (если не понятно то поясню, х^2 на конце даст 01, а x^3, понятно что даст на конце 99)   
Далее ничего умней не могу придумать как проверка пяти вариантов, откуда находим, что Х=69 
ответ 69