Контрольная работа № 4 по теме «Окружность и круг. Геометрические построения» В ариант 2
1. На рисунке 64 точка O — центр окружности, ∠MON = 68°. Найдите угол MKN.
2. К окружности с центром O проведена касательная AB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и ∠ABO = 30°.
3. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что ∠MNK =∠MNF.
4. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.
5. Даны прямая и две точки вне её. Найдите на этой прямой точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?
, хотя бы несколько задач
​

1. Чтобы найти угол MKN, нам нужно использовать свойство центрального угла, которое гласит, что угол, образованный двумя радиусами, проведенными к точкам на окружности, равен удвоенной мере центрального угла, образованного теми же точками на окружности. В данном случае у нас есть радиусы ON и OK, которые составляют угол MON. Мы знаем, что ∠MON = 68°, поэтому угол MKN будет равен 2 * 68° = 136°.

2. Для нахождения радиуса окружности, нам нужно использовать теорему о касательной, которая гласит, что касательная, проведенная к окружности из точки касания, перпендикулярна радиусу, проведенному из центра к точке касания. В данном случае у нас есть радиус OB и угол ABO, и нам нужно найти радиус. Мы знаем, что ∠ABO = 30°, поэтому радиус будет половиной длины стороны треугольника, образованного тремя радиусами: OB, OA и AB. Для нахождения радиуса нам нужно использовать законы косинусов для этого треугольника. Радиус можно найти по формуле: радиус² = OA² + OB² - 2*OA*OB*cos(∠ABO). Затем можно найти радиус, извлекая квадратный корень из этой формулы.

3. Чтобы доказать, что ∠MNK = ∠MNF, мы можем использовать свойство, которое гласит, что угол, образованный хордой и соответствующим радиусом, равен углу, образованному теми же хордой и медианой треугольника с вершиной в центре окружности. В данном случае у нас есть хорда NK и радиус NO, которые составляют угол MNK, и хорда NF и медиана NO, которые составляют угол MNF. Так как NF = NK (дано в условии), то у этих углов будут равными друг другу (так как углы НФК и НМК между хордой и соответствующим радиусом равны).

4. Чтобы построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них, мы можем использовать теорему о медиане треугольника, которая гласит, что медиана, проведенная к стороне треугольника, делит эту сторону на две равные части и образует угол со стороной, равным углу между медианой и этой стороной. Для построения такого треугольника, нам нужно нарисовать две стороны треугольника и провести медиану к одной из них, которая будет делить эту сторону на две равные части. Затем мы проводим дугу окружности с радиусом, равным длине медианы, с центром в точке деления этой стороны на две равные части. Точка пересечения этой дуги с другой стороной треугольника будет третьей вершиной треугольника.

5. Чтобы найти точку на прямой, равноудаленную от двух заданных точек, мы можем использовать свойство перпендикуляра, которое гласит, что прямая, проведенная через середину отрезка и перпендикулярная этому отрезку, равноудалена от концов отрезка. В данном случае у нас есть прямая и две точки вне ее. Чтобы найти точку, равноудаленную от этих двух точек, мы должны провести середину отрезка, который соединяет эти две точки, и провести через нее перпендикуляр к заданной прямой. Таким образом, мы найдем точку, равноудаленную от двух заданных точек. В данной задаче количество решений будет зависеть от взаимного расположения этих двух точек и заданной прямой. Она может иметь ноль, одно или два решения.