Как представить бесконечную десятичную периодическую смешанную дробь в виде обыкновенной дроби? меня интересует именно при котором используется формула суммы прогрессии, и ответ на вопрос можно ли вообще этим представить данную дробь, или для нее нужно составлять уравнение?

Ну  например  0,243243243   представим в виде обыкновенной.
Есть решения:
1)  Пусть наше число x ,тогда:
1000x=243,243243243
1000x-243=x
999x=243
x=243/999=9/37
2)  Разложим нашу дробь следующим образом:
0,243 +0,000243+0,000000243=243*10^-3+243*10^-6 это  бесконечно убывающая геометрическая прогрессия b1=243*10^-3  q=10^-3.
Тогда искомое число равно ее  сумме:
S=b1/1-q=243*10^-3/1- 10^-3=(243/1000)/(1-1/1000)=(243/1000)/(999/1000)=243/999=9/37