Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби а) 3/³√5 ; б)6/³√5+1; в )3/³√16+³√4 +1

Ответы

logvlad9 07.10.2020 08:19

а)

$\dfrac 3{\sqrt[3]5}=\dfrac {3\cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]5\cdot \sqrt[3]{5^2}}=\dfrac {3\cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^3}}\boldsymbol{=\dfrac 35\cdot \sqrt[3]{25}}$

б)

$\dfrac 6{\sqrt[3]5+1}=\dfrac {6\cdot \Big(\sqrt[3]{5^2}-\sqrt[3]5+1\Big)}{\Big(\sqrt[3]5+1\Big)\cdot \Big(\sqrt[3]{5^2}-\sqrt[3]5+1\Big)}=\\\\\\=\dfrac {6\cdot \Big(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]5+1\Big)}{\sqrt[3]5^3+1^3}=\dfrac {6\cdot \Big(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]5+1\Big)}6=\\\\\\\boldsymbol{=\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]5+1}$

в)

$\dfrac 3{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]4+1}=\dfrac {3\cdot\Big(\sqrt[3]4-1\Big)}{\Big(\sqrt[3]{4^2}+\sqrt[3]4+1\Big)\cdot\Big(\sqrt[3]4-1\Big)}=\\\\\\=\dfrac {3\cdot\Big(\sqrt[3]4-1\Big)}{\sqrt[3]4^3-1^3}=\dfrac {3\cdot\Big(\sqrt[3]4-1\Big)}3\boldsymbol{=\sqrt[3]4-1}$

=======================================

Использованы формулы

$\Big(\sqrt[3]a\Big)^3=\sqrt[3]{a^3}=a$

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Elizabet4722 25.01.2024 21:00

Хорошо, ответим на вопросы по очереди:

а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе в дроби 3/³√5, нужно использовать свойство рационализации знаменателя.

Для начала перепишем √5 в виде степени: ³√5 = 5^(1/3).
Теперь можем возвести 5 в знаменателе в степень 1/3: ³√5 = 5^(1/3).

Таким образом, исходная дробь 3/³√5 может быть переписана в виде дроби 3/5^(1/3).

б) В этом случае у нас есть дробь 6/(³√5+1). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, мы будем использовать тот же метод рационализации знаменателя.

Перепишем √5 в виде степени: ³√5 = 5^(1/3).
Теперь можем возвести 5 в знаменателе в степень 1/3: ³√5 = 5^(1/3).

Теперь перепишем исходную дробь 6/(³√5+1) так, чтобы знаменатель стал рациональным.

Умножим исходную дробь на единицу в форме (³√5-1)/(³√5-1), чтобы получить рациональный знаменатель.

(6/(³√5+1)) * ((³√5-1)/(³√5-1)) = [6(³√5-1)] / [(³√5)^2 - 1^2].
Здесь мы использовали формулу разности квадратов (a^2 - b^2) = (a+b)(a-b).

Теперь упростим знаменатель, возводя (³√5) в степень 2 по свойству степени: (³√5)^2 = 5^(2/3).

Получаем итоговое выражение: (6(³√5-1)) / (5^(2/3) - 1).

в) Теперь разберем дробь 3/(³√16 + ³√4 + 1). Здесь у нас три слагаемых в знаменателе, каждое из которых содержит кубический корень.

Также как в предыдущих задачах, мы будем использовать метод рационализации знаменателя.

Для начала упростим каждое слагаемое в знаменателе, возводя их в степень:

(³√16)^3 = 16, (³√4)^3 = 4.

Теперь перепишем знаменатель исходной дроби: (³√16 + ³√4 + 1) = (16^(1/3) + 4^(1/3) + 1).

Умножим исходную дробь на единицу в форме [16^(2/3) - 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3)] / [16^(2/3) - 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3)].

Теперь знаменатель можно упростить, применяя формулу разности кубов: x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2).
Заметим, что x = 16^(1/3), y = 4^(1/3).

(16^(2/3) - 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3)) = [(16^(1/3) - 4^(1/3))(16^(2/3) + 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3))].

Собирая все вместе, получаем итоговое выражение: 3[(16^(1/3) - 4^(1/3))(16^(2/3) + 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3))] / [(16^(1/3) - 4^(1/3))(16^(2/3) + 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3))].

Таким образом, мы избавились от иррациональности в знаменателе в каждой из трех заданных дробей, используя метод рационализации знаменателя и дополнительные математические преобразования.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра