Исследуйте функцию y=1/3x^3-x^2 на экстремум

Для исследования функции y=(1/3)x^3-x^2 на экстремумы, мы будем использовать процедуру анализа функций и определения их экстремумов.

Шаг 1: Найдите первую производную функции.
Для определения экстремумов функции, нам нужно найти ее первую производную. Для данной функции, первая производная будет равна:

y' = d/dx [(1/3)x^3 - x^2]
= (1/3) * d/dx [x^3] - d/dx [x^2]
= (1/3) * 3x^2 - 2x
= x^2 - 2x

Шаг 2: Найдите точки, в которых первая производная равна нулю или не определена.
Чтобы найти точки экстремума функции, мы должны найти значения x, при которых первая производная равна нулю или не определена. Для этой функции, мы будем решать уравнение:

x^2 - 2x = 0

Шаг 3: Решите уравнение для нахождения точек экстремума.
Чтобы решить это уравнение, мы можем факторизовать его:

x(x - 2) = 0

Таким образом, либо x = 0, либо x - 2 = 0, что приводит к двум возможным точкам экстремума: x = 0 и x = 2.

Шаг 4: Определите типы экстремумов.
Чтобы определить типы экстремумов, мы должны проанализировать знаки первой производной в окрестности каждой точки экстремума.

Для x = 0:
Подставим x = 0 в первую производную:
(0)^2 - 2(0) = 0
Таким образом, значение первой производной равно 0, что означает, что функция имеет горизонтальный перегиб в точке x = 0. Для определения типа экстремума, нам нужно анализировать знаки второй производной.

Для x = 2:
Подставим x = 2 в первую производную:
(2)^2 - 2(2) = 0
Таким образом, значение первой производной равно 0, что означает, что функция имеет горизонтальный перегиб в точке x = 2. Для определения типа экстремума, нам нужно анализировать знаки второй производной.

Шаг 5: Найдите вторую производную и определите знаки в окрестности каждой точки экстремума.
Чтобы найти вторую производную, мы продифференцируем первую производную:

y'' = d/dx [x^2 - 2x]
= 2x - 2

Для x = 0:
Подставим x = 0 во вторую производную:
2(0) - 2 = -2
Таким образом, значение второй производной в окрестности точки x = 0 отрицательное, что означает, что функция имеет максимум в этой точке.

Для x = 2:
Подставим x = 2 во вторую производную:
2(2) - 2 = 2
Таким образом, значение второй производной в окрестности точки x = 2 положительное, что означает, что функция имеет минимум в этой точке.

Шаг 6: Найдите значения y в точках экстремума.
Для нахождения значений y в точках экстремума, мы подставим найденные значения x обратно в исходную функцию:
Для x = 0:
y = (1/3)(0)^3 - (0)^2
= 0 - 0
= 0

Для x = 2:
y = (1/3)(2)^3 - (2)^2
= (1/3)(8) - 4
= 8/3 - 12/3
= -4/3

Итак, функция y=(1/3)x^3-x^2 имеет максимум в точке (0, 0) и минимум в точке (2, -4/3).