Исследуйте функцию на экстремум
y=2x^4-x

Для исследования функции на экстремум, тебе понадобится использовать производные. Экстремумы функции называются точками, в которых функция имеет максимум или минимум.

1. Сначала найдем производную функции, чтобы найти точки, в которых функция может иметь экстремумы.
y = 2x^4 - x
Для этого, возьмем производную функции по x:
y' = d/dx (2x^4 - x)

Чтобы найти производную функции, нам понадобится применить правило дифференцирования для каждого члена функции. В данном случае, правило дифференцирования степенной функции гласит: если у нас есть функция f(x) = ax^n, то производная будет f'(x) = nax^(n-1).

Применим правило дифференцирования к нашей функции:
y' = 2 * 4 * x^(4-1) - 1 * 1 * x^(1-1)
y' = 8x^3 - 1
Таким образом, производная функции y равна 8x^3 - 1.

2. Теперь найдем точки, в которых производная функции равна нулю или не определена. В этих точках функция может иметь экстремумы.
Для этого, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
8x^3 - 1 = 0
8x^3 = 1
x^3 = 1/8
x = ^(3√)1/8

Для решения этого уравнения, нам необходимо найти кубический корень из 1/8. Мы знаем, что кубический корень из 1/8 равен 1/2:
x = 1/2

3. Так как производная функции определена для всех значений x, у нас нет других точек, в которых производная равна нулю или не определена. Следовательно, единственной точкой, в которой функция y = 2x^4 - x может иметь экстремум, является x = 1/2.

4. Для определения, является ли точка x = 1/2 максимумом или минимумом функции, нам необходимо проанализировать знак производной в окрестности этой точки.
Для этого возьмем небольшой интервал вокруг x = 1/2 и подставим значения x, немного меньшие и немного большие, чтобы узнать, как меняется знак производной.

Проверим знак производной, когда x меньше 1/2:
Пусть x = 1/2 - ε, где ε - очень маленькое положительное число.
Подставим x = 1/2 - ε в производную функции:
y' = 8(1/2 - ε)^3 - 1
y' = 8(1/8 - 3/4ε + 3/2ε^2 - ε^3) - 1
y' = 1 - 6ε + 12ε^2 - 8ε^3 - 1
y' = -6ε + 12ε^2 - 8ε^3

Так как ε - маленькое положительное число, то ε^2 и ε^3 будут маленькими положительными числами, и мы можем их пренебречь.

Таким образом, получаем:
y' ≈ -6ε

Из этого видно, что значение производной отрицательно, когда x немного меньше 1/2.

Теперь проверим знак производной, когда x больше 1/2:
Пусть x = 1/2 + ε, где ε - очень маленькое положительное число.
Подставим x = 1/2 + ε в производную функции:
y' = 8(1/2 + ε)^3 - 1
y' = 8(1/8 + 3/4ε + 3/2ε^2 + ε^3) - 1
y' ≈ 6ε

Так как ε - маленькое положительное число, то ε^2 и ε^3 будут маленькими положительными числами, и мы можем их пренебречь.

Таким образом, получаем:
y' ≈ 6ε

Из этого видно, что значение производной положительно, когда x немного больше 1/2.

5. Таким образом, мы видим, что в окрестности точки x = 1/2, производная функции меняет знак с отрицательного на положительный. Это говорит о том, что функция имеет локальный минимум в точке x = 1/2.

Итак, точка x = 1/2 является точкой минимума функции y = 2x^4 - x.

Это подробное и шаг за шагом объяснение исследования функции на экстремум. Надеюсь, что оно помогло тебе понять процесс анализа функций на экстремумы более детально. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся обращаться!