Исследуйте функцию и постройте график y=8x^3-x^4

Task/26911535

Исследуйте функцию и постройте график y= 8x³ - x⁴ .  
y = x³ (8- x)
1. D(y ) : x∈(-∞; ∞)    * * *  Область Определения Функции →ООФ * * *
2. Ни четная , ни нечетная , ни периодическая .
3. Пересечения с осями координат:   (0 ;0) , (8, 0) .
4.Определим  интервалы  знакопостоянства  функции 
y = x³ (8- x)  
       " - "                 " + "              " - "  0 8     нули функции : x =0  и x =8 .

y < 0 ,если   x ∈ (-∞ ; 0 ) ∪ ( 8 ; ∞) .
y  > 0 ,если   x ∈ (0 ; 8) .
5. Определим промежутки монотонности и точки экстремума:
y '=( 8x³- x⁴) ' =( 8x³) ' - (x⁴ ) ' =8(x³) ' -4x³ =8*3x²-4x³ =24x²- 4x³ =4x²(6 -x). 
y '      " +  "          "+ "                  " - "  0   6
у           ↑                 ↑      max          ↓
Функция возрастает при  x ∈ (-∞ ;6] , убывает  при  x ∈ [ 6 ; +∞) .
у(6) =8*(6)³ - 6⁴ =(6)³ (8-6)=216*2 = 432 .        (6 ; 432)_точка максимума.

Точки выпуклости и вогнутости 
y '' =(y')' =(24x² - 4x³) ' = 48x -12x² =12x(4 -x).
x =0  и  x =4  точки перегиба                             * * * y ''  = 0 * * *
Выпуклый , если x ∈ ( -∞;0)  и  x ∈   ( 4 ;+∞)     * * *  y '' < 0 * * *вогнутый , если x ∈ ( 0 ;4 )                                * * *  y''  > 0 * * *
x→±∞  ⇒  y→ -∞ .

Таким образом характерные точки  на  графике   
пересечение с координатными осями  (0 ; 0) , (8; 0) 
* * *  функция положительно при x∈ (0 ; 8)  * * *
точка максимума (6 ; 432) . (единственная  точка экстремума)
точки перегиба :
(0 ;0 )   (от выпуклости к вогнутости) ;
(4 ; 4⁴) ⇔ (4 ; 256) (от вогнутости  к  выпуклости ) .