Исследовать систему и если она совместна, найти все решения

Данную систему представим в виде матрицы:

2    3    2    -1     21

2    2    3    -2    23

4    7    3    -1     40

2    5    0     1      17

Находим её определитель по треугольной схеме:

2 3 2 -1 | 2 3 2  

2   2   3   -2 |   2   2   3  

4   7    3    -1 |   4   7   3  

2   5    0    1 |   2    5   0 =  

= 12 - 18 - 80 + 0 - 16 + 0 + 60 + 42 = 0.  

Определитель равен нулю.  

Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, то есть несовместна.

Поэтому надо применить  метод Гаусса, который  более универсальный и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:  

4       7        3        -1          40

2       3        2        -1          21

2       2       3        -2           23

2       5       0         1            17

Работаем со столбцом №1  

Умножим 3-ю строку на (k = -2 / 2 = -1) и добавим к 4-й:  

4     7       3         -1     40

2     3       2    -1       21

2     2      3         -2      23

0     3     - 3          3       -6

Умножим 2-ю строку на (k = -2 / 2 = -1) и добавим к 3-й:  

4    7      3         -1       40

2    3       2 -1       21

0   -1       1         -1        2

0    3       -3 3       -6

Умножим 1-ю строку на (k = -2 / 4 = -1/2) и добавим к 2-й:  

4     7       3   -1       40

0   -1/2      1/2 -1/2          1

0    -1       1          -1         2

0    3      -3   3         -6

Для удобства вычислений поменяем строки местами:  

4         7         3           -1          40

0         3         -3           3         -6

0        -1          1           -1            2

0        -1/2     1/2        -1/2          1

Работаем со столбцом №2  

Умножим 3-ю строку на (k = -1/2 / 1 ) и добавим к 4-й:  

4     7        3   -1        40

0     3       -3   3        -6

0     -1         1   -1         2

0     0         0   0         0

Умножим 2-ю строку на (k = 1 / 3 ) и добавим к 3-ей:  

4     7      3        -1    40

0     3      -3 3   -6

0     0       0 0     0

0     0       0 0      0

Работаем со столбцом №3  

Добавим 4-ю строку к 3-й:  

 4      7        3   - 1     40

0      3        -3     3     -6

0       0         0     0      0

0       0 0     0       0

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:  

1         7/4      3/4       -1/4        10

0          1          -1           1          -2

0          0         0          0          0

0          0         0          0          0

Теперь исходную систему можно записать как:  

x1 = 10 - (7/4x2 + 3/4x3 - 1/4x4).

x2 = -2 - ( - x3 + x4).  

3-ья строка является линейной комбинацией других строк.  

4-ая строка является линейной комбинацией других строк.  

Необходимо переменные x3 и x4  принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.  

Для получения частного решения, приравняем переменные x3 иx4  к 0.  

Из 2-ой строки выражаем x2:  

x2 = -2 - (-1)*0 - 1*0 = -2.  

Из 1-ой строки выражаем x1:  

x1 = 10 - 7/4*(-2) - 3/4*0 - (-1/4)*0 = 27/2.