Ибн сины. если число будучи разделено на 9, дает остаток 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает остаток 1. докажите.

Если число (обозначим его А) даёт такие остатки, то его можно выразить двумя случаями:
1) A=9*x+1 
2) A=9*x+8
Возведём в квадрат оба случая:
1) A^2 = (9x+1)^2 = 81*x^2 + 2*9*x + 1 = 81*x^2 + 18*x + 1
2) A^2 = (9x+8)^2 = 81*x^2 + 2*8*9*x+64 = 81*x^2 + 144*x+64
Теперь преобразуем эти записи так, чтобы увидеть, какая часть из них делится на 9, а какая нет:
1) 81*x^2 + 18*x + 1 = 9*(9*x^2+2*x) + 1
2) 81*x^2 + 144*x+ 64 = 9*(9*x^2+16*x)+63 +1 = 9*(9*x^2+16*x+7) +1
Мы видим, что в обоих случаях квадрат записывается в виде 9*выражение+1 = а значит, остаток от деления квадрата на 9 будет равен 1.