Фигура ограничена осью ох, графиком функции y= √х и прямой х = 27. найдите стороны прямоугольника, вписанного в эту фигуру, если он имеет наибольшую площадь.

Вершина лежит на графике sqrt(x), тогда площадь (27-x)*sqrt(x)

f(x)=  (27-x)*sqrt(x)

f'(x)=-sqrt(x)+ (27-x)*1/2*sqrt(x)/x=sqrt(x) ((27-x)*1/(2*x)-1)

 sqrt(x) ((27-x)*1/(2*x)-1) =0

sqrt(x)=0

x=0

 

((27-x)*1/(2*x)-1) =0

((27-x) -2*x)/(2*x)=0

27-3*x=0

x=9

 

f(0)=0

f(9)=3*18=54

стороны 18 и 3 

 

 

(a;0), (a;корень(a)); (27; a); (27; корень(a)) - вершины прямоугольника
площадь прямоугольника равна произведению ширины на длину, поэтому
площадь искомого прямоугольника f(a)=(27-a)*корень(а),
0<а<27
Ищем производную f'(a)=-1*корень(а)+(27-a)/(2корень(а))=(-а+27-а)/(2корень(а))=(13.5-а)/(корень(а))
Ищем критические точки f'(a)=0
(13.5-а)/(корень(а))=0
a=13.5
при 0<a<13.5 : f'(a)>0
при 13.5<a<27: f'(a)<0
значит т.а=13.5- точка максимума, в для этого значения а прямоугольник имеет наибольшую площадь
тогда стороны прямоугольника равны 27-13.5=13.5 и корень(13.5).

 

P.s. Если Вы отметите любое решение как "Лучшее", то к Вам вернётся 25% потраченных пунктов на это Задание.