F(x) =6x-2x^3+1, x0=2
#1
1)для f(x) найти область определения
2)производную
3)критические точки
4)промежутки монотонности и экстремумы
#2
постройте в 1 системе координат график для f и f'
#3
напишите уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку х0. вычислите угол наклона касательной. постройте эту касательную. ​

Добрый день!

Давайте приступим к решению задачи.

#1
1) Область определения функции f(x) определяется значениями x, при которых функция определена и не "ломается". В данном случае функция f(x) задана многочленом, и многочлены определены для всех действительных чисел x. Таким образом, область определения функции f(x) - это все действительные числа, т.е. (-∞, +∞).

2) Чтобы найти производную функции f(x), нам нужно продифференцировать выражение f(x) по переменной x. В нашем случае, f(x) = 6x - 2x^3 + 1, и мы известно, что производная многочлена равна сумме производных его слагаемых. Производная константы (как 1) равна нулю, производная x в степени n равна n*x^(n-1), производная произведения равна сумме произведений производных сомножителей.

Таким образом, вычислим производную функции f(x) по x:
f'(x) = d(6x)/dx - d(2x^3)/dx + d(1)/dx
= 6 - (2*3)x^(3-1)
= 6 - 6x^2

3) Чтобы найти критические точки, нужно решить уравнение f'(x) = 0. В нашем случае, нужно решить уравнение 6 - 6x^2 = 0.

6 - 6x^2 = 0
6x^2 = 6
x^2 = 1
x = ±1

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

4) Чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы, нужно изучить знак производной f'(x) в интервалах между критическими точками и за пределами области определения функции.

a) Интервалы между критическими точками:
- Для x < -1:
Подставим x = -2, например, в производную функции f'(x):
f'(-2) = 6 - 6*(-2)^2 = 6 - 6*4 = 6 - 24 = -18
Значит, на этом интервале производная f'(x) отрицательна.

- Для -1 < x < 1:
Подставим x = 0 в производную функции f'(x):
f'(0) = 6 - 6*0^2 = 6 - 6*0 = 6
Значит, на этом интервале производная f'(x) положительна.

- Для x > 1:
Подставим x = 2, например, в производную функции f'(x):
f'(2) = 6 - 6*2^2 = 6 - 6*4 = 6 - 24 = -18
Значит, на этом интервале производная f'(x) отрицательна.

b) За пределами области определения функции:
Наша функция определена для всех действительных чисел, поэтому нет необходимости рассматривать знак производной за пределами области определения.

Таким образом, получаем промежутки монотонности и экстремумы:
- На интервале (-∞, -1) функция f(x) убывает,
- На интервале (-1, 1) функция f(x) возрастает,
- На интервале (1, +∞) функция f(x) снова убывает.

Касательная и угол наклона:
#3
Для уравнения касательной к графику функции, проходящей через точку x0, нам понадобятся значение производной f'(x) в точке x0 и координаты этой точки x0, f(x0).

- Найдем значение производной f'(x) в точке x0 = 2:
f'(2) = 6 - 6*2^2 = 6 - 6*4 = 6 - 24 = -18

- Найдем значение функции f(x) в точке x0 = 2:
f(2) = 6*2 - 2*2^3 + 1 = 12 - 2*8 + 1 = 12 - 16 + 1 = -3

Теперь мы знаем, что у нас есть точка (x0, f(x0)) = (2, -3) и значение производной f'(x) в этой точке, f'(2) = -18.

Уравнение касательной к графику функции выглядит в виде y = mx + c, где m - угловой коэффициент (наклон касательной), c - свободный член (точка пересечения с осью ординат).

- Подставим известные значения в уравнение касательной:
-3 = (-18)*2 + c
-3 = -36 + c
c = -3 + 36
c = 33

Таким образом, уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку x0 = 2, имеет вид y = -18x + 33.

Теперь построим график функции f(x) и ее производной f'(x) в одной системе координат:

#2
Для построения графика функции f(x), нам нужно найти значения f(x) для различных значений x и построить соответствующие точки. Также найдем значения производной f'(x) для этих значений x.

Таблица значений:
x | f(x) | f'(x)
--------------
-2| ? | ?
-1| ? | ?
0 | ? | ?
1 | ? | ?
2 | ? | ?

- Посчитаем значения функции f(x) и ее производной f'(x) для каждого значения x:

x = -2:
f(-2) = 6*(-2) - 2*(-2)^3 + 1 = -12 - 2*(-8) + 1 = -12 + 16 + 1 = 5
f'(-2) = 6 - 6*(-2)^2 = 6 - 6*4 = 6 - 24 = -18

x = -1:
f(-1) = 6*(-1) - 2*(-1)^3 + 1 = -6 - 2*(-1) + 1 = -6 + 2 + 1 = -3
f'(-1) = 6 - 6*(-1)^2 = 6 - 6 = 0

x = 0:
f(0) = 6*0 - 2*0^3 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1
f'(0) = 6 - 6*0^2 = 6 - 6*0 = 6

x = 1:
f(1) = 6*1 - 2*1^3 + 1 = 6 - 2 + 1 = 5
f'(1) = 6 - 6*1^2 = 6 - 6 = 0

x = 2:
f(2) = 6*2 - 2*2^3 + 1 = 12 - 2*8 + 1 = 12 - 16 + 1 = -3
f'(2) = 6 - 6*2^2 = 6 - 6*4 = 6 - 24 = -18

Теперь у нас есть значения функции f(x) и ее производной f'(x) для различных значений x. Мы можем построить соответствующие точки в системе координат:

^
|
6 |- *
| |
5 |- *---|
| | * (2, -3) - касат. y = -18x + 33
4 |- ---*----
| * *
3 |- |
| *
2 |- *
|
1 |- *
| *
0 |- *
| *
-1 |- *
| *
-2 |*
|
-3
-2 -1 0 1 2 3 4 5

Таким образом, мы построили график функции f(x) и ее производной f'(x) в одной системе координат.

Я надеюсь, что мой детальный ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!