F(x)= 5tgx-3sinx+4, найти f'(0)

Для решения данной задачи нам понадобится знание о производных элементарных функций, а именно производных от тригонометрических функций и констант.

Для начала, мы знаем, что производная функции f(x) определяется как предел ее приращения при изменении x, когда это приращение стремится к нулю. Таким образом, чтобы найти производную функции F(x) в точке x=0, нам нужно найти предел изменения F(x) при стремлении x к нулю.

Давайте найдем производные от элементов составляющих функцию F(x):

- Производная от константы равна нулю, поэтому производная от 4 будет равна 0.

- Производная от функции tg(x) равна 1/cos^2(x), поэтому производная от 5tg(x) равна 5*(1/cos^2(x)).

- Производная от функции sin(x) равна cos(x), поэтому производная от -3sin(x) будет -3cos(x).

Теперь, когда мы знаем производные от каждого элемента функции F(x), мы можем найти производную от самой функции:

F'(x) = 5*(1/cos^2(x)) - 3cos(x) + 0.

Теперь, чтобы найти производную F'(0), мы должны подставить значение x=0 в выражение для производной:

F'(0) = 5*(1/cos^2(0)) - 3cos(0) + 0.

Учитывая, что cos(0) равен 1 и что cos^2(0) также равен 1, у нас получается:

F'(0) = 5*(1/1) - 3*1 + 0.

Упрощая данное выражение, мы получаем:

F'(0) = 5 - 3 + 0.

Зная, что 5-3=2, получаем:

F'(0) = 2.

Таким образом, производная функции F(x) в точке x=0 равна 2.