Есть ли такие 4 числа (рациональных) которые при произведении друг друга?

СВОЙСТВА ЧИСЕЛ. ДЕЛИМОСТЬ
1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а
второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как
изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый
множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?
ответ. Уменьшится на 2013.
Решение. Пусть изначально были числа x и y (с произведением xy ). После того как
первый множитель увеличили на 1, а второй уменьшили на 1, получилось
(x 1)( y 1) = xy y  x 1.
Произведение увеличилось на 2011, то есть y  x 1= 2011 или y  x = 2012 . Если же
первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1, получится
(x 1)( y 1) = xy y  x 1.
Заметим, что
xy y  x 1= xy ( y  x) 1= xy 2012 1= xy 2013 .
То есть произведение уменьшилось на 2013.
2. Даны ненулевые числа x, y и z. Чему может равняться значение выражения
(

||
−
||

) ∙ (

||
−
||

) ∙ (

||
−
||

)
ответ. 0.
Решение. Докажем, что выражение, стоящее по крайней мере в одной из скобок,
равно нулю. Выражение, стоящее в первой скобке, принимает нулевое значение, если
x и y одного знака. Аналогично для второй и третьей скобок. Но среди ненулевых
чисел x, y и z обязательно найдутся либо два положительных числа, либо два
отрицательных. А значит, хотя бы один из трех множителей равен нулю. Поэтому все
произведение равно нулю.
3. Сравнить числа:
9 9 100
1
. . .
5 2 5 3
1
5 1 5 2
1
5 0 5 1
1

 





и
100
1
. ответ обосновать!
ответ. Числа равны.
Решение. Справедливо равенство
1
1 1
( 1)
1

 
n  n  n n
. Применяя его к сумме дробей,
получим
100
1
100
1
5 0
1
100
1
9 9
1
. . .
5 2
1
5 1
1
5 1
1
5 0
1
         .
4. Сумма двух положительных чисел и сумма их кубов являются
рациональными числами. Можно ли утверждать, что
а) сами числа рациональны? б) сумма их квадратов рациональна?
ответ. а) Нет. б) Да, можно.
Указание. а) В качестве примера можно взять числа
a  2 1, b  2 1 .
б) Пусть числа
x  a  b
и
3 3
y  a  b
рациональны. Тогда
3 ( )
3 3 3
x  a  b  ab a  b = y  3x  ab.
Отсюда
x
x y
ab
3
3

 – рациональное число. Поэтому число
a b (a b) 2ab 2 2 2
    также
рационально.