Доведіть,що N^3--N ділиться на 24,якщо будь-яке число N непарне

Объяснение:

Число делится на 24. если оно делится на 3 и на 8.( так как 3 и 8 - взаимно простые)

Разложим: n³–n=n•(n²–1)=n•(n–1)•(n+1)=(n–1)•n•(n+1) - три последовательные числа

1)Из трех последовательных натуральных чисел- одно обязательно кратно 3

По условию n-нечетное число, то есть n=2•K+1

n–1= 2•k и n+1= 2•k+2=2•(k+1) - при любом к чётные числа.

2) а) Пусть (n–1) делится на 4. Так как (n+1) делится на 2 как чётное число, то их произведение (n–1)•(n+1) делится на 8  

б) Пусть (n–1) не делится на 4, то из представления (n–1)=2•k заключаем, что (n–1) делится на 2 и k нечётное число. Тогда из представления (n+1)=2•(k+1) имеем, что (k+1) чётное число, а следовательно (n+1)=2•(k+1) делится на 4.  

отсюда  (n–1)•(n+1) делится 8.  

Итак, мы доказали, что n³–n делится на 8 и 3. Отсюда следует,что  n³–n делится на 24