Доведіть, що (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = 232 – 1.

Добрый день! Спасибо за ваш вопрос. Я с удовольствием выступлю в роли школьного учителя и помогу вам разобраться с задачей.

Дано выражение (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) и нужно доказать, что оно равно 232 – 1.

Давайте рассмотрим некоторые особенности выражения:

1. Для начала, мы видим, что каждый элемент скобки имеет вид (2^n + 1), где n - степень числа 2.

2. Мы замечаем, что у выражения (2^n + 1) имеется одновременно два члена: 2^n и 1.

Теперь давайте посмотрим на само выражение и разложим его поэлементно:

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)

= (2^1 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1)

= (2^1*2^2*2^4*2^8*2^16 + 2^1*2^2*2^4*2^8 + 2^1*2^2*2^4 + 2^1*2^2 + 2^1)(2^2*2^4*2^8*2^16 + 2^2*2^4*2^8 + 2^2*2^4 + 2^2 + 1)(2^4*2^8*2^16 + 2^4*2^8 + 2^4 + 2^2 + 1)(2^8*2^16 + 2^8 + 2^4 + 2^2 + 1)(2^16 + 2^8 + 2^4 + 2^2 + 1)

Теперь мы видим, что у нас получилось произведение пяти множителей, где каждый следующий множитель получается умножением предыдущего на следующий элемент (2^n + 1). Это означает, что когда мы раскроем каждый множитель, мы получим сумму всех возможных комбинаций между элементами 2^n и 1.

Давайте рассмотрим более простой пример для ясности:

(2 + 1)(2^2 + 1) = (2*2^2 + 2 + 2^2 + 1) = 2^3 + 3*2^2 + 3*2 + 1 = 2^3 + 3(2^2 + 2 + 1) = 2^3 + 3(2^2 + 1)(2 + 1) = 2^3 + 3(2^2 + 1)(2 + 1)

Мы видим, что итоговая сумма была разделена на три слагаемых, где каждое слагаемое является произведением элементов (2^n + 1) в определенной комбинации.

Вернемся к нашей исходной задаче:

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)

= (2^1 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1)

Мы можем заметить, что когда мы разложим каждый элемент в скобках, мы получим сумму всех возможных комбинаций.

Теперь обратим внимание на то, что это похоже на разложение в алгебре, которое называется раскрытие скобок.

Только вместо обычных чисел, у нас есть числа вида (2^n + 1).

Поэтому, когда мы будем раскрывать скобки, мы получим все комбинации между элементами (2^n + 1) и каждый элемент будет участвовать в этой комбинации.

Таким образом, при раскрытии скобок мы получим сумму всех возможных комбинаций и элементов (2^n + 1).

Давайте теперь взглянем на выражение (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) после раскрытия скобок:

= 2*2^2*2^4*2^8*2^16 + 2*2^2*2^4*2^8 + 2*2^2*2^4 + 2*2^2 + 2 + 2^2*2^4*2^8*2^16 + 2^2*2^4*2^8 + 2^2*2^4 + 2^2 + 2^2 + 2^4*2^8*2^16 + 2^4*2^8 + 2^4 + 2^2 + 2 + 2^8*2^16 + 2^8 + 2^4 + 2^2 + 2 + 2^16 + 2^8 + 2^4 + 2^2 + 2

Теперь начнем приводить подобные слагаемые:

= 2^1*2^2*2^4*2^8*2^16 + 2^1*2^2*2^4*2^8 + 2^1*2^2*2^4 + 2^1*2^2 + 2^1 + 2^2*2^4*2^8*2^16 + 2^2*2^4*2^8 + 2^2*2^4 + 2^2 + 2^2 + 2^4*2^8*2^16 + 2^4*2^8 + 2^4 + 2^2 + 2^1 + 2^8*2^16 + 2^8 + 2^4 + 2^2 + 2^1 + 2^16 + 2^8 + 2^4 + 2^2 + 2^1

= 2^1*2^2*2^4*2^8*2^16 + 2^2*2^4*2^8*2^16 + 2^4*2^8*2^16 + 2^8*2^16 + 2^16

= 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^8 + 2^16

= 31

Таким образом, мы получили, что (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = 31, что эквивалентно 232 – 1.

Надеюсь, что я максимально подробно объяснил вам решение данной задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.