Докажите, что значение выражения 781*782*783*784 + 1 можно представить в виде произведения двух одинаковых натуральных чисел. (именно докажите, а не просто посчитайте)

Пусть 781 = n, тогда
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1 =
= (n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2 = (781^2 + 3*781 + 1)^2
Таким образом мы доказали, что эта сумма есть квадрат целого числа.

Пусть , тогда 

Для доказательства заданного утверждения будем использовать метод доказательства по индукции, который школьники учат в старших классах.

Шаг 1: Базис индукции
Для начала докажем, что утверждение верно для n = 1. Подставим n = 1 в выражение 781*782*783*784 + 1:

781*782*783*784 + 1 = 2651651000 + 1 = 2651651001

Мы видим, что это число является произведением двух одинаковых натуральных чисел: 2651651000 * 1 = 2651651001.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что утверждение верно для некоторого k, т.е. можем представить k = 781*782*783*784 + 1 в виде произведения двух одинаковых натуральных чисел.

Шаг 3: Индуктивное доказательство
Для доказательства верности утверждения для k+1, необходимо показать, что если у нас имеется число k, которое можно представить в виде произведения двух одинаковых натуральных чисел, то и k+1 также можно представить в таком виде.

Итак, пусть k = a*b, где a и b - одинаковые натуральные числа.

Рассмотрим выражение (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1. Возможно несколько случаев:

Случай 1: a или b - нечетные.
Предположим, что a - нечетное число. Тогда b - четное и может быть представлено в виде b = 2m, где m - натуральное число. Тогда ab + a + b + 1 = (2m)a + a + 2m + 1 = (2ma + a) + (2m + 1) = (a + 1)(2m + 1). Мы видим, что это произведение состоит из двух одинаковых натуральных чисел.

Случай 2: a и b - четные.
Пусть a = 2m и b = 2n, где m и n - натуральные числа. Тогда ab + a + b + 1 = (2m)(2n) + 2m + 2n + 1 = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1. Выражение 2mn + m + n является целым числом, так как все слагаемые целые. Следовательно, ab + a + b + 1 = 2(2mn + m + n) + 1 может быть представлено в виде произведения двух одинаковых натуральных чисел.

Таким образом, мы показали, что если k можно представить в виде произведения двух одинаковых натуральных чисел, то и k+1 также можно представить в таком виде.

Исходя из предположения индукции, мы знаем, что утверждение верно для k = 781*782*783*784 + 1. Значит, оно верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения 781*782*783*784 + 1 можно представить в виде произведения двух одинаковых натуральных чисел.