Докажите, что вектор (5;-5) является собственным для матрицы
0 1
1 0

Для того, чтобы доказать, что вектор (5;-5) является собственным для данной матрицы, мы должны установить условие, когда произведение матрицы на вектор равно произведению вектора на число.

Вектор (5;-5) будет являться собственным для матрицы M, если выполняется следующее условие:

M * (5;-5) = λ * (5;-5),

где λ - число, которое мы ищем.

В матричной форме это будет выглядеть следующим образом:

<0 1><5> = λ<5>
<1 0><-5> <-5>

Чтобы умножить матрицу на вектор, мы должны выполнить следующее:

0*5 + 1*(-5) = 5λ,
1*5 + 0*(-5) = -5λ.

Это приводит к следующим уравнениям:

-5 = 5λ,
5 = -5λ.

Мы можем решить эту систему уравнений.

1. Уравнение -5 = 5λ:
Добавим 5 к обеим сторонам:
-5 + 5 = 5λ + 5,
0 = 5λ + 5.

Вычитаем 5 от обеих сторон:
0 - 5 = 5λ + 5 - 5,
-5 = 5λ.

Делим обе стороны на 5:
-5/5 = 5λ/5,
-1 = λ.

2. Уравнение 5 = -5λ:
Добавим 5 к обеим сторонам:
5 + 5 = -5λ + 5,
10 = -5λ + 5.

Вычитаем 5 от обеих сторон:
10 - 5 = -5λ + 5 - 5,
5 = -5λ.

Делим обе стороны на -5:
5/(-5) = -5λ/(-5),
-1 = λ.

Таким образом, мы получили, что λ равно -1 в обоих случаях. Это значит, что вектор (5;-5) является собственным вектором для данной матрицы.